高考数学卷导数压轴题命题规律

导读：高中数学函数的导数部分，令很多同学头疼不已，历年高考数学卷的解答题中关于证明函数不等式部分，平均得分率都不算高。究其原因在于该知识点掌握的不够熟练，知识的灵活运用能力不足。这部分确实很烧脑，也很绕，关键掌握高考命题的相关规律。特别是典型的指对同构不等式（实际上就是放缩和凸凹翻转），一定要见其形知其意！将其作为目标后，就指明了解题的方向。

证明复杂导数不等式方法

      方法有很多，其中，常规求导、多次求导、分离参数（分类讨论）、极限、放缩、凸凹反转是历年高考常用的方法。其中放缩与凸凹反转相结合则是难中之难。

      切线放缩法实质就是利用函数的图像性质（数形几何）切线放缩可以化曲为直，化超越式为便于处理的线性式或无超越式函数，用于解决多元的求最值不等式和隐零点问题简单的函数的转化。其中函数形态，凹凸性、变化趋势是关键。

切线放缩的应用——借切搭桥

     切线不等式是构造函数不等式的一种常用方法。多用于将指数、对数、无理根式统一到一阶幂函数的形式，用时还需考虑函数的凹凸性。

切线放缩的难点

      难点是寻找切线放缩的位置。通常于端点处进行放缩，不行的话后移选取特殊点，若还是搞不定则需要待定系数法进行选取。

高考常考的切线放缩

1. 常用指对不等式有e^x≥x+1，e^x>x，e^x≥ex，lnx≤x-1，lnx≤x/e，lnx<1-1/x 对于这几个不等式一定要见其生意（考虑放缩或考虑将其作为目标想起转化靠拢再放缩！）

2. 利用特殊点转化为g(x)=kx+b的形式，而这种形式关键在于找切点位置（函数拐点）。

凸凹翻转

原理：实际上就是一种复杂的不等式，我们不能直观的去证明这个不等式成立，不是简单的作差构造。这个时候需要调整，同时乘以什么，或者除以什么，再构造出两个新的函数，使得了f(x)为凹函数，g(x)为凸函数，因为凹函数有最小值，凸函数有最大值，则可以利用凹凸性最小值最大值的关系直接证明此不等式成立。[这里的最大最小是指切线的切点]

定理1：函数凹凸性：设函数=f（x）在（a.b）内具有二阶导数，

（1）如果在（a,b）内，f’’(x）>0，那么曲线在（a,b）内是凹的；

                                                                      ---意味着有最小值

（2）如果在（a,b）内，f’’(x）<0，那么曲线在（a,b）内是凸的。

                                                                      ---意味着有最大值

这里要特别注意拐点与极值点的区别，拐点不一定是极值点，但极值点一定是拐点！

定理2：零点存在的必要条件：f(x)在x0处的二阶导数存在，且点（x0，f（x0））为拐点，则f”(x0)=0。

判定拐点的步骤：

（1）确定函数y=f（x）的定义域；

（2）求y”=f”（x）,令f”（x）=0，解出这个方程在区间（a.b）内的实根；

（3）对实根x0，考察f”（x）在x0的左右两侧邻近的符号，如果f”（x）在北的左右两侧邻近的符号相反，那么点（x0，f（x0））就是一个拐点。反之，f”（x）在x的左右两侧邻近的符号相同，那么点（x0，f（x0））就不是拐点。

下面来2两道很好的典型的专类题（可用多种方法），检验一下对以上知识点的领悟程度。

例1：已知f(x)=(3+x)/(1+x^2),0≤x≤3，数列{an}满足0≤an≤3，Sn为an的前n项和，S2010=670，求f(a1)+f(a2)+...f(a2010)的值。

     对于本题：若是选择填空题，可以直接利用特殊值[部分资料上叫平衡点]a1=a2=...=a2010=1/3，带入函数中求的f(a1)=f(a2)=...=f(a2010)。

若是大题则不能这么解，又该怎么办呢？

     对于f(x)是一个分式结构，且要求f(a1)+f(a2)+...f(a2010)，我们考虑向g(x)=kx+b的形式转化。其关键是选取特殊点，用于确立切线的位置。那么，选择这个点应该位于函数的拐点上（为什么，数形结合自己思考一下）。f’’(1/3)=0,结合f'(x)可以确定g(x)，则f(an)≤g(an)。具体步骤略，自己动手做一下。

本题获得关键的启示有三点：

1、见到很多项f(a1)+...f(a2010)若不能直接求和，则采用分项比较；

2、怎么考虑到切线放缩

3、如何获得切线，切点在哪里？

例2：已知函数f(x)=e^x-aln(x-1),

（1）若a是实数，求f(x)极值点的个数；

（2）若f(x)在（1,1+e^-a）上不单调，证明1/a+1/(a+1)>a。

对于本题的第一问是典型的隐零点问题【高中知识零点求不出来，但是真实存在】，先求导，然后就至少有2种思路了。

1. 思路1：求导后就有等式了，有参数可以考虑参数分离（注意：可以半分离，也可全分离），利用y=a,与另外曲线进行比较，将本题零点个数，转换为交点个数（即数形结合）

2. 思路2：求导后，关于a进行分类讨论。（注意：需要用到二阶导数）。

具体解题过程略。自己动手做一下。

答案：当a≤0时，函数f（x）极值点个数为0。

当a>0时，函数f（x）极值点个数为1。x0点为（1,1+a/2）注意这个是一个点。

对于第二问：因为有了第一问，便容易解答。反之，则属于一道难题。

1. 首先我们来理解一下题目的已知条件f(x)在（1,1+e^-a）上不单调，说明什么？f(x)在该区间内至少存在1个极值点。根据第一问，可知该函数在点（1,1+a/2）上存在唯一的零点。故要使的在区间（1,1+e^-a）上不单调，这说明该零点一定在该区间内。
2. 再看带求项：1/a+1/(a+1)>a，貌似不好处理，直觉上容易想到的就是左边通分，但通分后会提升多项式的次数，且对接下来怎么做没有任何提示。
3. 回过头来再看，我们要使用已知的条件，如何产生联系？且要利用好在区间（1,1+e^-a）上不单调的条件。
4. 结合第一问，我们很容易得到a>0,f’(1+e^-a)>0(为什么不是小于0？看第一问)，可以得到一个关于a的不等式a<e^-a-lna+1。这时待求量1/a+1/(a+1)>a就与给定的条件发生关系了。（注意，目标一定要紧盯待求量）
5. 将其转化为：1/a+1/(a+1)>e^-a-lna+1；这里有了e^x，有了x+1，有了lnx，自然就联想到了指对数放缩。这里用到了e^x>x+1,变形后1/(x+1)>e^-x和lnx<1-1/x。注意：这里要进行配对（凑），对于基本指对不等式放缩只有见形知意，才能灵活运用。

后记：

      以上两道题目很经典可以作为高考母题使用，希望大家使用不同的思路解一下，先不要看上文的解题思路。如果没有思路，或做题过程中有卡滞，在回过头来，看一下放缩和凸凹反转。对于一个知识点在自己吸收消化前，一定是痛苦的。多提一句，课堂上，大多数同学听老师讲的头头是道，似乎都听明白了，感觉很轻松，一般是学不好数学的。为什么感觉轻松？因为没有动脑思考，只是跟着老师的思路走了一遍，至于问什么这样走，还有那些走法，一概不知道。最终结果就是，课后习题不会，考试成绩不高。当然，对于已经超前学习的大学知识的同学听课也是非常轻松的，因为这些知识他自己自学了一遍。