什么是概率？

继《线性代数》和《单变量微积分》后，“马同学图解”系列又迎来新的成员 ---- 《概率论与数理统计》，覆盖浙江大学《概率与数理统计》前八章（考研范围），下面是本课程的第二篇文章，欢迎大家试读和购买。

1 争论

概率论需要回答的第一个问题就是，什么是概率？

刚接触这门学科的同学可能觉得难以置信，这个问题仍然存在着广泛的争论：

而且这个问题更像是一个哲学问题，而不是数学问题，确实也有不少哲学家参与讨论。

对于概率的定义有几个主流的派别：

• 频率派

• 古典派

• 主观派

了解这些派别对于理解概率论很有帮助，下面来简单介绍一下。

2 频率派

首先来了解下频率派，频率派的理论基础是对过去事实的归纳总结。

2.1 什么是频率？

学概率从抛硬币开始才是正确姿势。我们知道硬币是有正反两面：

硬币抛出之后：

得到的结果是随机的，那么得到正面的概率是多少呢？这里的“概率”又指的是什么？

我们扔100次硬币试试：

可以看到，得到48次正面，52次反面，用正面次数除以总的次数：

“  ”称为扔100次硬币时，正面出现的 频率 。

2.2 频率与概率

2.2.1 频率稳定性

同样的，扔  次硬币时如果出现了  次正面，那么：

“  ”为此时正面出现的频率。历史上很多数学家都做过扔  次硬币的实验：

从试验结果可见，随着  的增大，频率越来越趋近于0.5。可见，虽然单次扔硬币的结果是随机的，但多次重复后频率趋于稳定，这种稳定性也称为 频率稳定性 ，反应了扔硬币存在某种必然性。

2.2.2 定义

频率派认为如果频率存在稳定性，即当  时下面极限存在，就得到了 概率（用Probability的首字母P来表示）：

可以自己尝试扔一下，点一下按钮就会模拟扔100次硬币，看看是不是扔的次数越多，越趋于0.5（计算机模拟的，内部使用的是伪随机，难免会有一些偏差）：

此处有互动内容，点击这里可以前去操作

3 频率派的缺点

通过频率来定义概率的方法比较符合直觉，但缺陷也很明显：

• 首先，需要  足够大，但是“足够大”这个词很含糊

• 其次，需要在相同条件下反复扔硬币，但是“相同条件”这个词也很含糊，也很难保证，比如扔了10000次后，硬币上沾满汗水，那又怎么办？

• 再次，永远也不可能扔无限次硬币，所以得到的概率始终是一个近似值

• 最后，有些时候根本不具备反复实验的条件，比如火山喷发的概率应该怎么计算？

4 古典派

接下来介绍古典派，古典派的理论基础是不充分理由原则。

4.1 不充分理由原则

在概率论草创阶段，雅各布·伯努利（1654－1705）：

就提出，如果因为无知，使得我们没有办法判断哪一个结果会比另外一个结果更容易出现，那么应该给予它们相同的概率。比如：

• 硬币：由于不清楚硬币哪一面更容易出现，那么应该给予正面、反面相同的概率，即为 

• 骰子：我们不清楚骰子哪一面更容易出现，那么应该给予每一面相同的概率，即为 

此称为 不充分理由原则（Insufficient Reason Principle）。

4.2 古典概率

以不充分理由原则为基础，经由拉普拉斯（皮埃尔-西蒙·拉普拉斯侯爵，1749－1827）：

之手，确立了 古典概率 的定义，即：

在这之后，古典概率在整个19世纪也被人们广泛接受，我们高中学习的概率，基本都是古典概率。

比如，有一家原木加工厂，它会把木头切成不同的木方，木方的截面都是正方形，边长会在1  3尺之间随机浮动：

那么根据古典概率，正方形边长在1  2尺之间的概率为多少？

根据古典概率的不充分理由原则，我们没有办法判断哪一种边长更容易出现，那么就应该给予它们相同的概率，也就是说1  3之间每一种长度都是等可能的。

1  2包含了一半的可能长度：

所以，正方形边长在1  2尺之间的概率为 。

5 古典派的缺点

古典派的缺陷也是非常明显的：

（1），古典派的概率定义，“未知的概率都是等概率”，有循环定义的嫌疑。

（2），不充分理由原则没办法处理非等概率的情况，假如被告知硬币两面是非等概率的，但是不知道是哪一面，那么应该怎么办？（拉普拉斯提出还是应该按照等概率来处理）

（3），还容易产生矛盾，比如刚才练习题中提到的原木加工厂，它会把木头切成不同的木方，木方的截面都是正方形，边长会在1  3尺之间随机浮动：

那么根据不充分理由原则，正方形边长在1  2尺之间的概率为 。

刚才的问题还可以转为面积来解答，1  3尺边长的正方形面积为1  9平方尺，1  2尺边长的正方形面积为1  4平方尺：

同样，根据不充分理由原则，1  9平方尺之间的正方面面积是等可能的，那么正方形面积在1  4平方尺之间的概率为  ：

选择对“长度”还是对“面积”运用不充分理由原则，同一个问题会得到了不同的概率：

上述问题是 伯特兰悖论（Bertrand's paradox）简化版，由伯特兰在1899年出版的《概率论》中提出：

伯特兰悖论先说在这里，之后会有专门介绍古典派概率的章节，到时再来解决这个悖论。

6 主观派

最后介绍下主观派，主观派认为概率是 信念强度（degree of belief）。

比如说，我个人相信20年后人类从网络时代进入人工智能时代的概率为70%：

上面说的概率也就是主观概率，是个人对这个命题的信念强度，换句话说我觉得还是很有可能实现的。

虽说是主观概率，其实也有客观的部分，比如刚才对人工智能的判断，就是基于AI的基础设置发展、计算速度的提高等事实。

主观概率更贴近人的思考方式，比如我们在作科学研究时，会先给出一个猜想，这就是给出了一个主观概率。

所以在人工智能时代，因为要模仿人的行为，主观概率越来越受到重视：

当然主观派缺陷也很明显，这也是被大家接受困难的原因：

• 说到科学，大家都认为应该是客观的，但是偏偏主观概率不客观，充满了个人偏见

• 因为主观，大家很难对某个主观概率达成共识

7 小结

三个流派大概有以下的区别：

这三个流派并非泾渭分明、互不相容，反而在发展中犬牙交错。比如要判断火山的喷发概率，就需要总结过往数据（频率派），再加入主观知识（主观派）。

为什么概率的定义不明确？可能因为概率本身研究的就是“不明确”。

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