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定义向量场的散度，首先要引入通量的概念。给定一个三维空间中的向量场以及一个简单有向曲面，则向量场通过曲面的通量就是曲面每一点上的场向量在曲面法向方向上的分量的积分: 其中是积分的面积元，n是Σ在点(x,y,z)处的单位法向量。如果曲面是封闭的，例如球面，那么通常约定法向量是从里朝外的，所以这时候的通量是描述曲面上的场向量朝外的程度。 通量描述了一定区域（也就是）中向量场的方向趋势，散度则是这个性质的一种局部描述，也就是说，从散度在一点的值，我们可以看出向量场在这点附近到底倾向发散或收敛。要算某一点的散度，先求包含这一点的某一个封闭曲面的通量除以封闭曲面围起来的微小体元的体积 （这体积用表示） 得到的比值，向量场在点的散度即是这比值在体元趋向于点时的极限。如果用Nabla算子表示的话，向量场的散度记作从定义中可以看出，散度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是一个封闭区域表面的通量，所以说散度是通量的体密度。物理上，散度的意义是场的有源性。某一点或某个区域的散度大于零，表示向量场在这一点或这一区域有新的通量产生，小于零则表示向量场在这一点或区域有通量湮灭。这样的点或区域分别称为向量场的正源（发散源）和负源（洞）。举例来说，假设将太空中各个点的热辐射强度向量看做一个向量场，那么某个热辐射源（比如太阳）周边的热辐射强度向量都指向外，说明太阳是不断产生新的热辐射的源头，其散度大于零。 散度等于零的区域称为无源场或管形场。流体力学中，散度为零的流体称为不可压缩流体，也就是说此流体中不会有一部分凭空消失或突然产生，每个微小时间间隔中流入一个微小体元的流体总量都等于在此时间间隔内流出此体元的流体总量。 |
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