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线段的垂直平分线与线段的两种关系：位置关系——垂直，数量关系——平分，利用线段垂直平分线的性质可以求线段的长度、角的度数等，还可以解决实际生活中的选址问题等。今天我们将介绍几种线段垂直平分线的应用。 应用一：应用线段垂直平分线的性质求线段的长 例1：如图，△ABC中，AB、AC的垂直平分线交BC于点D、E，已知△ADE的周长为12cm，求BC． 例1图 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，AE＝CE，再根据AD+DE+AE＝BD+DE+CE即可得出结论． 【解答】解：∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC， ∵△ADE的周长为12cm，即AD+DE+AE＝12cm， ∴BC＝12cm． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 例2：如图，已知AB比AC长3cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是15cm，求AB和AC的长． 例2图 【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CD＝BD，然后求出△ACD的周长＝AB+AC，再解关于AC、AB的二元一次方程组即可． 【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴CD＝BD， ∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+BD+AD＝AC+AB， 由题意得AB-AC=3, AB+AC=15 解得：AB=9,AC=6 ∴AB和AC的长分别为9cm，6cm． 【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，解二元一次方程组，熟记性质并求出△ACD的周长＝AC+BC是解题的关键． 应用二：应用线段垂直平分线的性质求角的度数 例3：如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，求∠DBC 例3图 【分析】根据线段垂直平分线求出AD＝BD，推出∠A＝∠ABD＝50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC，即可得出答案． 【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD，∠AED＝90°， ∴∠A＝∠ABD， ∵∠ADE＝40°， ∴∠A＝90°﹣40°＝50°， ∴∠ABD＝∠A＝50°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝65°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°， 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，能正确运用定理求出各个角的度数是解此题的关键，难度适中． 例4：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD．若AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠DAB＝2：5，求∠ADC的度数． 例4图 【分析】由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理得到AD＝BD，根据等边对等角得到∠ABD＝∠BAD，又∠CAD：∠DAB＝2：5，可设∠CAD＝2x，∠DAB＝5x，根据直角三角形的两锐角互余，可得∠CAD+∠DAB+∠ABD＝90°，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出∠DAB与∠ABD的度数，又∠ADC为三角形ABD的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，由∠DAB与∠ABD的度数之和即可求出∠ADC的度数． 解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠BAD＝∠ABD， ∵∠CAD：∠DAB＝2：5， 设一份为x，即∠CAD＝2x，∠DAB＝∠ABD＝5x， 又∠C＝90°， ∴∠ABD+∠BAC＝90°，即2x+5x+5x＝90°， 解得：x＝7.5°， ∵∠ADC为△ABD的外角， ∴∠ADC＝∠DAB+∠ABD＝5x+5x＝10x＝75° 【点评】此题考查了线段垂直平分线定理，等腰三角形的性质，以及三角形的外角性质，要求学生借助图形，多次利用等量代换的方法，达到解决问题的目的，同时对于比例问题，一般情况设每一份，表示出各角，利用三角形的内角和定理列出方程，进而求出各角的度数． 应用三：应用线段垂直平分线的性质解决实际问题 例5：某城区规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C（如图所示） 之间建购物商场，该购物商场建在何处才能使这三个住宅小区的居民到该购物商场距离相等？ （1）在图中用尺规作图确定购物商场的位置（简述作法，并说明作图依据）； （2）证明你所确定的位置到三个住宅小区的距离相等． 例5图 【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，连接BC、AC，△ABC两边垂直平分线的交点就是花园的位置； （2）利用垂直平分线的性质证明即可． 【解答】（1）解：连接AB，分别以A、B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧交于两点，连接这两点即是作AB的垂直平分线； 同理连接BC，作出BC的垂直平分线，两条直线交于点P，则点P就是商场的位置； （2）证明：如图， 【点评】此题主要考查了应用设计与作图，利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质解决问题． 应用四：应用线段垂直平分线的性质判断两线的位置关系 例6：如图，OE，OF分别是△ABC中AB，AC边的中垂线（即垂直平分线），∠OBC、∠OCB的平分线相交于点I，试判定OI与BC的位置关系，并给出证明． 例6图 【分析】首先连接OA，过点I作IM⊥OB于点M，过点I作IN⊥OC于点N，过点I作IG⊥BC于点G，由OE，OF分别是AB，AC边的中垂线，可得OA＝OB＝OC，又由∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，可得点I在∠BOC的角平分线上，然后由三线合一，证得结论． 【解答】解：OI⊥BC． 理由：连接OA，过点I作IM⊥OB于点M，过点I作IN⊥OC于点N，过点I作IG⊥BC于点G， ∵OE，OF分别是AB，AC边的中垂线， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC， ∵∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I， ∴IM＝IG，IN＝IG， ∴IM＝IN， ∴点I在∠BOC的角平分线上， ∴OI⊥BC． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． |
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