从双数列递推求通项探究递推数列与三角函数公式结合的问题

近日有学生问到一道数列题，难度不大，但是很具有代表性.笔者对这类题型进行了较

深入的研究，发现是一个很好的数列出题方向.

【评注】

本方法对代数变形要求较高，还需要联想到二倍角公式进行换元，最后用到了一个常用

的三角恒等变形，适合作为一道三角与数列综合的例题进行讲解.

本题两种方法都用到了三角函数.实际上，本题的通项公式中就含有三角函数，所以不

管用何方法，都是殊途同归，最后转化为三角函数相关问题.受此启发，我们可以以三

角函数公式为依据，进行一系列的命题.

最后，我们来研究一下:哪些递推公式可以用三角函数或双曲函数求出通项公式,哪些不

容易求出.

至此，我们从一道双数列递推求通项问题谈起，发现了一类递推数列与三角函数公式结

合的问题.并对不同的三角函数公式所对应的数列递推公式进行了总结，深入研究了怎

样形式的递推公式可以用三角函数公式求解.最后以一道例题探索了双曲函数与三角函

数之间的联系.

在平时的教学过程中，不能将做出题目作为最终目标，而应该追根溯源，对问题的本质

进行探究，只有这样才能真正对这一类问题做到了如指掌.

作者介绍

程国根——平行线学术中心中小学负责人。

高联数学及物理竞赛均荣获二等奖，“北约”联合考试数学满分，保送南开大学数学试点班。现任合肥平行线智慧班体系主要负责人。