地球椭球体的基本要素和公式 | 麻辣GIS

地球椭球体的基本要素分为:

长半径a(赤道半径)

短半径b(极轴半径)

扁率α

第一偏心率和第二偏心率e, e’

数学公式：

α=(a−b)/a=1−b/a

e2=(a2−b2)/a2=1−b2/a2

e′2=(a2−b2)/b2=a2−b2−1

e2=e′2/(1+e′2)

e′2=e2/(1−e2)

e2≈2α

扁率和偏心率反映地球椭球体的扁平程度。

2.子午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径     

法截面
设过椭球面上任一点A作法线AL,通过A点法线的平面所截成的截面。

主法截面
通过AL两个相互垂直法截面。含有极值意义的两个主法截面是: 子午圈截面(AE1P1EP)   卯酉圈截面(QAW)如图：

计算公式：

M=a(1−e2)/(1−e2sin2ϕ)3/2

N=a/(1−e2sin2ϕ)1/2

上述公式中：a：长半径  e：第一偏心率 ϕ：纬度

当椭球体选定后，a,e为常数；M，N随纬度的变化而变化。

当ϕ=00时

M0=a(1−e2)

N0=a

当ϕ=900时

M90=a/(1−e2)1/2

N90=a/(1−e2)1/2

3.平均曲率半径和纬圈半径

平均曲率半径（R）

主法截面曲率半径的几何中数。

R=(M∗N)1/2=a(1−e2)1/2/(1−e2sin2ϕ)

纬圈半径（r）

r=Ncosϕ=acosϕ/(1−e2sin2ϕ)1/2

在赤道上，ϕ=00，r=N=a

在两极，ϕ=900，r=0

4.子午线弧长和纬线弧长

子午线弧长:就是椭圆的弧长。

¯¯¯¯¯¯¯¯¯AA′=ds=Mdϕ=a(1−e2)dϕ/(1−e2sin2ϕ)3/2

纬线（平行圈）的弧长:

由于纬线为圆弧，故可应用圆周弧长的公式。

结论

1. 同纬差的子午线弧长由赤道向两极逐渐增加,例如纬差   10的子午线弧长在赤道为110576米,而在两极为111695米;

2. 同经差的纬线弧长则由赤道向两极缩短。例如经差10的纬线弧长在赤道处为111321米，在纬度450处缩短为78848米，至两极时则为零。

5.地球椭球体表面上的梯形面积

它是指二条子午线和两条纬线所围成的面积。

AB=CD=Mdϕ

BC≈AD=rdλ=Ncosϕdλ

dT=AB⋅BC=M⋅dϕ⋅Ncosϕ⋅dλ