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数学命题的核心是叙述研究对象之间的关系，即把关系概念应用于对象概念。为了今后讨论问题的方便，我们先给出一些符号来表示关系，主要是“属于”关系，如果反过来说，就是“包含”关系。我们用大写字母A，B，C表示集合，用小写字母x，y，z表示集合中 的元素。如果x属于集合A，则表示为x∈A。进一步，用Ac表示不属于集合A的所有元素构成的集合，这样符号x∈Ac就表示x不属于集合A，通常称Ac为集合A的补集。进一步，我们用大写希腊字母Ω，Γ等表示类，这是一个比集合更为广义的范畴，在类中包含的可以是元素，也可以是集合。如果元素x或者集合A属于类Ω，我们称Ω包含x或者A，表示为x∈Ω或者A⊆Ω。可以看到，符号∈表示元素与集合或者元素与类之间的关系；符号⊆表示集合与集合或者集合与类之间的关系，但这种表示不是本质的，因为在数学的推理过程中，也可以把一个元素看做集合，因此这种表示只是一种习惯而已。 在这里，我们特别强调，包含关系A⊆Ω可以细分两种情况： 真包含关系：如果元素x∈A必然有x∈Ω；并且，至少存在一个元素y∈Ω，使得y∈Ac； 等价关系：如果元素x∈A必然有x∈Ω；反之，如果元素x∈Ω必然有x∈A。 (1) 为了讨论问题的方便，有时候我们用A⊆B表示集合之间的真包含关系，用A≡B表示集合之间的等价关系。关于等价关系，也可以认为：如果A⊆B并且B⊆A，那么A≡B。根据这个原理，可以得到关于补集的一个重要性质：（Ac）C=A。 有了这些符号，我们就可以讨论命题了。在一般意义的意义上，命题是一种能够进行肯定或者否定判断的语句。比如 今天要下雨。 在近阶段股票保持稳定。 明天他的报告将很精彩。 中华民族发源于黄河流域。 都可以构成命题，虽然其中有些语句是模糊的，甚至是很难判断的。那些很难判断的语句，在我们的日常生活中使用是可以的，但在数学的推理过程中就不合适了，我们已经说过，在数学推理过程中的命题必须是简捷准确、不能引发歧义的语句。因此我想，在数学基本推理中的命题大概只有两种形式，一种命题的形式是： 数是可以比较大小的。 (2) 我们称这种形式的命题为正命题，另一种命题的形式是： 这个三角形不是直角三角形。 (3) 我们称这种形式的命题为否命题。因为对于每种命题都存在两种可能判断，即“肯定”判断或者“否定”判断，因此，对数学中的命题只存在四种可能结果：正正、正否、否正、否否，其中前面的“正”或者“否”表示判断的结果，后面的“正”或者“否”表示命题本身的 属性。 所谓“判断”是指通过经验直觉或者推理分析得到肯定或者否定结论的思维形态。关于如何进行数学的判断，我们将在以后几讲中详细讨论。 下面我们分析数学命题的构成。由(2)和(3)可以看到，每一个数学命题都被“是”或者“不是”这样的系词分为两个部分，为了讨论问题方便，我们称这样的语句为系词结构，称命题的前半部分为所指项，后半部分为命题项，这相当于汉语语法中的主词和谓词。为了数学推理的确定性，我们规定：数学命题中的所指项必须定义明确，这也意味着，所指相的述说必须可以表示为一个元素或者一个集合，我们用A来表示这个元素或者集合，比如在(2)式中A表示“数”的集合，在(3)中A表示“这个三角形”的元素。而命题中的命题项就可以比较复杂了，可以是比较模糊的概念，也可以是一些性质，我们用大写字母P表示，比如 (2)式中P表示“可以比较大小”这个比较模糊的性质，在(3)式中P表示“直角三角形”这个明确定义了的集合。进一步，我们用符号→表示“是”，用符号～表示“不是”。这样，对于命题就可以得到下面的表达： A→P表示正命题，即A中的元素都具有性质P； A～P表示否命题，即A中的元素都不具有性质P。 (4) 因为命题项比较复杂，我们用Ω来表示P的述说所构成的类，这样，从集合包含的角度分析，可以对命题进行下面的表达： A⊆Ω表示正命题，即A中的元素都属于Ω； A⊆ΩC表示否命题，即A中的元素都不属于Ω。 (5) 所以，数学命题就可以归结为“属于”关系，或者“包含”关系。须要注意的是，按照我们的规定，数学命题中的所指项必须是元素或者是集合，命题项可以是集合也可以是类。 我们曾经在《公理体系的数学发展---公理体系的合理性》中讨论了哥德尔那个划时代的定理，因为这个定理使得希尔伯特希望“证明公理体系完备性”这个构想陷入僵局，在讨论的过程中，我们曾经断定有一个命题不能成为数学命题，现在分析这个命题为什么不能成为数学命题。哥德尔利用被称为哥德尔数的那些算术术语，构造了一个语句G，这个语句指派的哥德尔数是n，而这个语句G 是：n在这个系统中是不可证的。也就是说，所指项G对应的语句是：我是不可证明的。现在，需要对这个语句进行判断，从前后逻辑考虑，针对这个语句，下面两个命题之一成立： 命题1：G是真的，但在这个系统中不可证 命题2：G是假的，但在这个系统中可以证 (6) 我们在那一节的讨论中曾经说过，其中的命题2是不成立的，这样，只能是命题1成立，而命题1恰恰就是哥德尔希望得到的结论。那么，为什么命题2不能成为数学命题呢？ 我们首先注意，如果用A和B表示两个集合，那么，在两个集合的包含关系与两个集合补集的包含之间存在下面的关系： 如果A⊆B，则必然有BC⊆AC (7) 这个结果是容易证明的，因为从条件知道，不属于集合B的必然不属于集合A，这样就直接得到了结论。 下面我们来分析哥德尔的命题。在(6)式中，我们用Ω表示命题项“在这个系统中可证”的那些东西所组成的类，即表示命题中的命题项。那么，命题2应当表示为Gc⊆Ω，然后再由(7)可以得到Ωc⊆G，这与命题表达式(5)中的第二式是相反的，这就说明了命题2不能构成数学命题.由此可以知道，在数学的论证过程中以及在数学的教学过程中，必须清楚怎样的语句才可能构成数学命题，其中(5)式是一个供我们参考的简捷模式。很显然，(6)式中的命题1是可以构成数学命题的，因为可以表示为G⊆Ωc，这恰为(5)中的第二式. 对于一个数学命题，我们曾经谈道：所指项必须是定义非常明确的一个元素或者一个集合，因此，定义是非常重要的。我们甚至可以对哥德尔提出的命题进一步提出质疑，命题1中的所指项“n在这个系统中是不可证的”或者“我是不可证明的”中的所指项能够算是定义明确吗？接下来，我们来讨论数学定义的构成。 |
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