为什么高中数学开篇就是“集合与逻辑”这一章?不仅仅是因为我们要用集合去表示求解的结果,更因为这一部分是整个高中数学学习的思维基础。 集合解决的是什么问题?我们知道集合里的元素有三个特性:确定性、互异性和无序性。所以集合虽然包罗万象,却还是有很多东西不是集合,因为没有一个确定的边界。数学关心的是精确的表述。 集合用来描述事物的性质。我们常常说一个东西是怎样怎样的,从数学的角度看就是在说这个事物属于一个什么什么集合。比如“985高校”表示了一批大学的集合。 集合的使用,就是从特殊抽象出一般。一个集合包括了一些元素,也就意味着这些元素具有这个集合所表示的某种共性。 所以集合解决的是“是怎样”的问题。 命题又是什么呢?命题是判断一件事情的语句。它必须能够确定真假。 最常见的命题形式是“条件—结论”,也即“如果p,则q”的形式,p和q是两个语句。 命题解决的是“是不是”的问题。 集合和命题为什么放在一块学?因为“是不是”的问题本质上也是“是怎样”的问题。就像在考试中“判断题”只是题型的一种,但其实所有其他的题型都可以转化为判断题的形式给出。 我们演示一下集合和命题的这种对应关系。
或者说p能推出q。 如果条件p可以写为集合A的形式,结论q可以写为集合B的形式,条件和结论所描述的对象都是事物x,那么这个命题就可以表述为
这和“A的所有元素都属于B”是一个意思。 从集合的知识我们知道,这意味A是B的子集。 从充分必要关系来说,这意味着p是q的充分条件(q是p的必要条件)。 从语言上理解“充分”和“必要”: p能推出q,p成立就有q成立,即p成立对于q成立来说是足够的(充分的); 同时p成立必然要有q成立,所以q成立对于p成立来说是必要的。 如果q也能推出p, 即“如果x属于B,则x属于A。”那么B的所有元素都属于A, 意味着q是p的充分条件(p是q的充分条件)。合起来p和q互为充要条件。 从集合上看,A的所有元素都属于B,B的所有元素都属于A,意味着A = B,两个集合相等。 如果p能推出q,q不能推出p, 即“如果x属于B,x未必属于A。”也即B中至少有一个元素x不属于A,则A是B的一个真子集。 这种情况下p是q的充分不必要条件(q是p的必要不充分条件)。 或者说p和q是等价的。所以如果两个命题的真假性一致,它们就是等价的。从这里发散一下思维,可以对“等价转化”的数学思想有更深的理解。 逆否命题用集合来理解“如果x属于A,则x属于B。”前面说了这意味着A是B的子集,作出韦恩图如下。 从上图显然看出,如果原命题为真,它的逆否命题“如果x不属于B,则x不属于A”也是真的。同时可推出如果原命题为假,它的逆否命题必为假。(因为逆否关系是相互的。) 即原命题和其逆否命题是等价的。 全称、特称命题的否命题用集合来理解全称命题说的是“任意x属于A,则x属于B。” 这还是意味着A是B的子集。 它的否定的韦恩图包括以下几种情形。 上述三种情形都包括在否命题“存在x属于A,不属于B”里。而“任意x属于A,不属于B”只是情形2。 所以全称命题的否定是特称命题。因为否定的关系也是相互的,所以同时可知特称命题的否定是全称命题。 |
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