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从前面的讨论中我们可以明确地知道，先哲们的思考是深刻的，论证也是有力的。但是我们已经谈到，先哲们在述说他们的论据时都忘记了一个根本，那就是人的本性，也就是人之所以被称为人的本质，因为我们说过，抽象了的东西是人抽象出来的，这就不能不依赖人的本性。事实上，就某一个抽象了的东西而言，还应当依赖于某一个具体的人或者某一群具 体的人，但在这里我们只讨论一般意义上的抽象。我想，就认识论而言，人的本质至少包含两个内容：人的本能和人的能力。 人的本能 虽然人类的文明史可以追溯到五千年以前，但只是到了近代，科学和哲学的发展才使人真正地认识到人是动物，才使人真正地认识到人具有动物的本性，这是一种关于人本性认识的回归，有两个人物对于这个回归作出了重要的贡献，一个表现在科学方面，是英国生物学家达尔文（1809- 1882），另一个表现在哲学方面，是德国哲学家叔本华（1788-1860）。 达尔文 《物种起源》 达尔史的进化论告诉我们，人类是由古代的猿进化而来的，古猿则是由更古的其他脊椎动物进化的，如此类推，人类是地球生物近40亿年进化的结果，而生存竞争和适者生存是进化的根本动力，由此可以推断，人的本能在本质上与动物的本能是一样的。那么，这个一样的本能是什么呢？这就是生存的意志以及对环境的适应，这个结论在达尔文的巨著《物种起源》中被阐述得非常明晰，能够生存下来的生物不一定是最高级的，也不一定是最强壮的，而是那些最能适应生存环境的。这样，我们可以进一步推断，这个本能的属性应当包括教育与接受教育。对于有大脑的动物，为了生命的延续，亲代必须教育子代适应生存环境，教授予代生活的技能；为了生存，子代也必须主动学习未来生活的本领。所有的孩子都有好奇心，他们总是向大人提出各种各样的问题，这是人的本能，孩子们是为了了解周边的世界，是为了更好地生存，因此，我们应当把“学习的欲望是孩子的天性”作为教育的真谛；同时，就整体而言，人类对自然的探索、对真理的追求是出于本能。 叔本华 《作为意志和表象的世界》 叔本华并不是哲学史上的重要人物，以至于一些哲学史的教材上都不出现他的名字，但他提出了意志的学说，正如罗素在《西方哲学史》中对叔本华的评价：“强调意志是19世纪和20世纪许多哲学的特征，这是由他开始的。”叔本华认为，人的本质就在于意志，那么，什么是意志呢？在《作为意志和表象的世界》中，叔本华说道： “在我们的身上存在那种借助心灵之光的探求欲望，……但无意识是万物的原始、自然的状态，大部分生物不具备意识，它们按本能行事，即它们的意志。……这些表明，意志是独立于理智的，似乎按照无意识的特性盲目地起作用。” 为了种族的延续，人类生存的意识完全可能超越认识和思考，意志就是最大限度地延续生命的欲望，这样，意志就构成了人们各种作为的最初动力。“人并不是被自己看见的东西吸引着向前的，实际上，他们是从后面被推着走的，”人们的许多作为是被自己的感觉，一种朦胧的、下意识的本能所驱使，只是没有被自己意识到而已。人生来不仅有学习生存本领的欲望，并且也有改变生存条件的欲望，有创造的欲望。因此，我们应当把“保持并放大孩子学习和创造的天性”作为教育的原则。 我们讨论数学思想的一个很重要的目的是为了指导数学教育，其中包括大学的数学教育，但更重要的是为了指导中小学的数学教育，为此，我们从人性的角度讨论了教育的一般原则，除此之外，为了讨论数学抽象的本质，我们从人性的角度讨论了人们之所以进行数学抽象的原动力，那就是人们需要了解人类所具有的适应生存条件的本能，每个个体可能是有差异的，但就总体来说这是一种潜在的意识，也就是叔本华所说的意志。 人的能力从现在开始，我们将对前面的讨论进行总结。我们的结论是：数学所研究的那些基本概念不是现实的存在，是人们在数量和图形方面对事物本质进行抽象的结果。我想，这些基本概念可以分为两类：对象概念和关系概念。对象概念是指数学所要研究的那些东西，比如自然数、实数、三角形等等；关系概念是指表示对象之间关系的逻辑术语，这些术语 具有因果、转折、递进、对比、补充、选择等功能，比如所以、同时、存在、相等、属于、介于等等，借助关系概念把逻辑应用于对象概念之间，就产生了数学的基本结果，关于其中的逻辑，我们在《图形抽象的思想基础》中给予了基本描述。我想，基本结果大概也可以分为两类：运算结果和命题结果。比如我们在第一部分《数量与数量关系的抽象》中谈到，从加法运算出发可以通过逻辑得到四则运算，并且把数的集合由自然数扩充到有理数；从极限运算出发，可以得到微积分以及基于微积分的所有运算，并且把数的集合扩充到实数，这些都是运算结果。再比如在《图形与图形关系的抽象》这一部分我们谈到，从欧几里得几何出发，由平行线存在的问题引发了罗巴切夫斯基几何和黎曼几何，由度量问题引发了解析几何，由变换问题引发了射影几何和拓扑学，这些都是命题结果。当然，我们并不要求，也不可能把运算结果和命题结果截然分开。 现在的问题是：如果基本概念不是现实的存在，是人创造出来的或者说是人抽象出来的，那么人为什么能够进行抽象的呢？让我们来仔细地讨论这个问题。 首先，人不仅有求知的本能，也有得到知识的能力。从上面的讨论可以看到，从柏拉图开始，唯实论的支持者都有一个共同的观点，就是强调“直观”的作用，虽然他们的论述方法有所不同，但他们都认为这种直观是独立于经验的，只与心灵有关，柏拉图用的是“通过思想去看见”这样的话语，笛卡尔强凋了“心灵之光”并认为心灵与身体是分离的，莱布尼茨则认为心灵与身体是沟通的，康德明晰地说出了“纯粹直观”并给出了明确的定义，以至到后来数学的几个学派都非常强调理性的作用，并且认为直观是认识数学的基础，他们的这种唯心主义的先验的认识论始终得到非议，如果不讨论认识的方法而只讨论认识的存在，那么问题可以归结为：人是否具有一种先验的、与思维有关的东西呢？ 这种东西是存在的。现代生物学表明，人确实具有一种与生俱来的、与思维有关的东西，这种东西至少以两种方式存在：基因和大脑。 DNA 碱基对 基因储存了某一个生物物种的近40亿年的生存信息，基因正确的称谓应当是脱氧核糖核酸，即DNA，这是由四种形式的碱基对组成的，用A、C、T、G来表示这四种形式，于是DNA就是一本由这四个字母按一定的规律排列而成的“天书”，其中的编码区及其调控区域才是我们通常所说的基因。不同生物的天书是不同的，DNA储存了合成该物种维持生命性状和生命活动所需蛋白质的全部信息，也就是说，DNA储存了决定某个物种之所以成为这个物种的全部信息。因此，人类的基因不仅储存了形成人体的生物信息，也提供了形成人的感觉器官、神经系统和大脑的信息，这就是人能够感觉和思维的物质基础，对子代而言，这个物质基础是先验的。 进入新世纪以来，脑科学、神经科学以及认知科学的研究发展迅猛，虽然还有许许多多的问题没有研究清楚，但现今所有的研究结果都表明：笛卡尔所说的是不对的，人的心灵与人的身体是不可分割的，也就是说，心理学与生理学是不可分割的；洛克所说的也是不对的，人的心灵并不是一个空白无物的白板，而是一个功能齐全的分析器，不仅具有信息的储存功能，也具有信息的分析和判断功能。随着汁算机技术的广泛应用和信息科学的飞速发展，人们已经感觉到信息科学与技术的强大威力，可是这个威力与人的认知相比还是微不足道的。 由此可以认为，人与生俱来的、与后天的经验无关的“直观”的物质基础确实是存在的，但是，这些哲学家、数学家的述说中都有一个致命的缺憾，就是把这种先验的存在僵化了。事实上，没有后天的经验，这种直观不能得到充分表达。一门新兴的被称为“表观遗传学”的学科的研究表明，虽然基因这个物质基础是存在的，但必须在适当的时间给基因一定的 刺激，否则基因不能得到充分表达。如果一个人8岁之前不练习说话，那么他以后说话就会不流畅。这个事实在动物那里也有明显的表现，许多人工饲养的动物，因为没有在适当的时机对于生存的基因（寻找食物和自我保护）给予适当的刺激，就使得它们丧失了在自然环境中自我生存的能力。 如果说上面所说的刺激还属于感性经验的范畴，那么就理性而言，思维过程特别是基于逻辑的思维过程也是一种经验，一个经历丰富并且善于反思的人，他的直观能力就必然会得到增强。因此，直观不是一成不变的，随着经验的积累其功能是可能逐渐加强的。我相信，上面所说的那几位哲人的“直观”都得到了充分的表达，并且在他们不问断地观察、思考、 判断的过程中，直观能力越来越得到加强。 综上所述，只有把“先天的存在与后天的经验”有机结合才能形成人的直观能力。由此也可以知道，每一个孩子都存在着潜能，而我们的教育必须激活这种潜能。这样，至少可以给数学教育两个重要启迪：一个是应当在适当的时机给予适当的教育；一个是在传授知识的同时也应当注重培养直观。因此，直观的培养不能单纯依赖传授，更重要的是依赖本人亲身参与其中的活动，包括观察、思考、判断等等。这样，我们也可以给出一个更加直接的教育目标：积累活动经验。在这里，我丝毫没有不重视知识传授的意思，我只是针对目前的数学教育现状，强调在传授数学知识的同时也要培养学生的数学的直观，强调这种直观的培养必须要帮助学生积累活动经验。 为了便于操作，我们大体上可以把经验分为两类：感性经验和逻辑经验。感性经验也依赖思靠，但更多的是依赖观察：逻辑经验也依赖观察，但更多的是依赖思考。或许，逻辑经验之后形成的直观就起到了康德所说的纯粹直观的作用，但是，这种直观的形成是在经验之后而不是在经验之前。 我们用了很大的篇幅来讨论直观，这是因为数学知识的形成依赖于直观，数学知识的确立依赖于推理，也就是说，在大多数的情况下，数学的结果是“看”出来的而不是“证”出来的。所谓“看”是一种直接判断，这种直接判断建立在长期的有效能的观察和思考的基础上，当然，这个“看”出来的结果的正确性必须经过证明，必须经过演绎推理的检验。这就像我们做很多事情那样，先建立起一个目标，然后再踏踏实实地向这个目标迈进，事实上，不仅仅是数学，在许多学科中对于结果的预测和对于原因的探究，起步阶段依赖的都是直观，我们可以推测，很可能因为柏拉图强调的是“看”的本身，而亚里士多德强调的是“看”的原因，所以亚里士多德的观点才会遭到那么多哲学家和数学家的反对。 我想，现在我们已经能够清晰地回答“人为什么能够获取知识”这个问题了，这就是因为人具有一种能力，我们姑且称这个能力为“直观能力”。直观能力的存在是先天的，但一个好的直观能力的养成却是依赖于经验的，如果把这个能力应用于事物的抽象，就构成了抽象能力，因此抽象能力的养成也是依赖经验的。再一次回顾前面的讨论，我们可以体会到，人们是如何利用抽象这个有力的思维工具，从日常生活和生产实践的具体事物开始逐渐构建 了现在的数学体系；我们还可以体会到，对数学抽象过程的深入考察，也有利于我们把握数学内容的本质。 下一部分《数学中的演绎推理》主要是针对方法论的讨论，其中包括一般意义上的抽象方法和数学推理的基本方法，我们还将讨论这些方法的合理性。 |
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