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希尔伯特 几何学的基本概念应当包括两个方面：一方面是几何所要研究的对象，另一方面是叙述这些对象之间关系所要的术语。 关于几何所研究的对象，希尔伯特认为应当是形式化的，他生动地解释说，欧几里得关于点，线，面地定义在数学上并不重要，它们之所以成为讨论的中心，仅仅是因为公理述说了它们之间的关系。换句话说，无论是称它们为点，线，面，还是称它们为桌子，椅子，啤酒杯，最终推理得到的结论都是一样的，这样，希尔伯特就形成了他的形式化公理体系的基本理念。与欧几里得的《原理》一样，《几何基础》开宗明义就是定义。 定义 设想有三组不同的对象：第一组的对象叫做点，用A,B,C...表示；第二组的对象叫做直线，用a,b,c...表示；第三组的对象叫做平面，用α,β,γ,...表示。点也叫做直线几何的元素；点和直线叫做平面几何的元素；点，直线和平面叫做空间几何的元素或空间元素。 可以看到，这与我们在第一辑《数量与数量关系的抽象》中所阐述的第二步抽象是一致的，为了摆脱研究对象的物理属性，最好的方法就是将研究对象符号化。事实上，也只有通过对于符号的计算或推理，才可能真正地消除经验直觉，才可能得到更为一般的结论。我们不能确定，《周易·系辞传》中所说的“形而上者为之道”所希望表达的是不是就是这个意思。事实上，对于许多物理属性的对象，我们并不需要深究其原因，寻求清晰的描述性的定义，而只需要合理地描述对象之间的关联，这就足以把握对象的本质。比如引力，我们很难说清楚引力的成因，因而很难给出一个有足够说服力的定义，但是，伽利略用1/2gt2描述了具有重力加速度的运动，开普勒用椭圆方程描述了行星在太阳引力下的运动轨迹，牛顿用GmM/r2描述了万有引力，爱因斯坦更一般地讨论了引力场，这样我们就能够清晰地知道在自然界引力是如何作为的了。 在哲学上，希尔伯特显然是受到了康德（1724-1804）的影响。《几何基础》这部著作原本是希尔伯特给学生授课时的讲稿，后应F.克莱因之邀为纪念高斯的文集编写成讲义，作为将要出版的著作的卷首题词，希尔伯特引用了康德的一段话： “人类的一切知识都是从直观开始，从那里进到概念，而以理念结束” 这段话出自康德的巨著《纯粹理性批判》。 希尔伯特并不一定完全赞同康德的观点，但是希尔伯特实现了康德，甚至实现了柏拉图的理想：在形式化的几何公理体系中，已经找不到直接经验的影子了。到了19世纪初，哲学家和数学家至少在一个基本点上达成了共识，即数学不能过分地依赖经验。数学要摆脱经验，一方面要摆脱研究对象的具体内容，另一方面还要摆脱在论证过程中对于直观的依赖，因此，就必须进行我们所说的第二步抽象，即对象表达的符号化和论证过程的形式化。但是，我们也必须清晰地认识到，没有第一步抽象是不可能建立起第二步抽象的，可以设想，如果没有两千多年来欧几里得几何的熏陶，人么可能深刻理解希尔伯特地这种形式化了的几何体系吗？进一步，人们借助这种形式化了的几何体系来讨论问题时，头脑中思考的载体能不是欧几里得几何吗？更进一步，如果一个学者总是在这些形式化了的抽象符号中徘徊，有可能作出根本性的创新吗？ |
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