立体几何专题：空间轨迹

---

空间轨迹问题

昨天听了张老师的一场报告，是有不少感慨的。

作为一线教师，相信大都如我一样，疲于课堂教学，恐怕极少会有教学之外的、更深层次的思考吧。

当然，也可能只是缺少了契机而已。

专家的解惑，更让人体会到理论与实践、理想与现实的差异。面对高考升学的压力和社会急功近利的关注，让我们感觉到了更多的困惑。

深深的自责之后，更有深深的不安。

虽然因为视角的不同，有些观点可能还不太一样，但最终的目标是相同的。

深有同感下，就想陆续的写点什么。

所以，

就首先有了今天的这个“空间的轨迹”了。

也是应前几日学生的要求，而做出的回应。

例 题 讲 解

分析：因为A₁C为定直线，点N在运动的过程中若保持MN与A₁C的垂直关系不变，则MN必在经过点M且与A₁C垂直的平面内，故点N在该平面与已知平面的交线上，交线显然为线段。故本题选A.

教师提醒：

其实，这类问题，对动点运动过程中元素性质的分析，是非常重要的。

抓住变化过程中的不变关系，是最关键的。

分析：因为AB₁⊥面A₁BCD₁，故过面A₁BCD₁内点P作AB₁垂线，垂足一定是图中的交点G了。

此时，题给条件即为动点P到定点G的距离与到直线BC的距离相等，由圆锥曲线定义知其轨迹为抛物线。故本题选D.

教师提醒：

说起轨迹，我们首先想到的当是解析几何中的轨迹问题，

还有不少求轨迹方程的方法吧？

那么空间与解析几何中轨迹的唯一区别，就是空间与平面的区别了，

那还犹豫什么呢，

赶紧想办法，将涉及到的空间元素，尽可能迁移到同一平面内呗，用我们最拿手的解析几何方法去处理。

所以，数学解题过程中，化归意识才是最至关重要的。

分析：因为线段AB是固定的，三角形PAB的面积为定值，实际上就是说点P到直线AB的距离为定值。

因此，点P应该在以AB为轴线的圆柱侧面上。

所以，点P的轨迹，应当就是圆柱的侧面与平面α的交线了，显然为椭圆。

故本题选B.

教师提醒：

其实，关于轨迹问题最常规的处理，是逐步缩小动点的活动范围，直至最后确定它的运动轨迹。

就象此题的思路，先确定点在圆柱上，再确定在平面与圆柱的交线上。

当然，你首先得知道：

平面内到定直线的距离为定值的点的轨迹是两平行线，

空间内到定直线的距离为定值的点的轨迹为圆柱侧面。

还有，如果对丹德林双球不太熟悉，可能也不会快速做出反应吧？

分析：与定直线夹角为定值的点，一定在以该直线为轴线的圆锥侧面上。那本题中的动点P，就应该是面BB₁C₁C与该圆锥的交线了。交线为双曲线一部分。

故本题选C.

教师提醒：

很多同学都选抛物线了吧？

那你一定是忘记了以前我们说过的“丹德林双球”了。

附：丹德林双球模型（圆锥曲线篇首导入视频）

分析：动点A不仅在平面内，同时也在以BC为轴线的一个圆锥侧面上。

只是尴尬的是，我们不知道平面和圆锥具体的位置关系是怎样的，那就是几种圆锥曲线都有可能了。因此就选了D.

教师提醒：

为什么几种可能性都存在呢？

看来，

是时候要彻底弄清楚“丹德林双球”到底是个什么玩意儿了。

还记得讲抛物线时的这个引入视频吗?

虽然连标题都不小心打错了，

但视频所蕴含的意思已经到位了。

分析：显然，PM≥PO,则PM≥PH，则在面ABC内，点P应在∠ABC的平分线和AB之间.　从四个选项看，应选D.

教师提醒：

有学生说，老师，我可以用排除法轻松搞定这个答案！

确实的，考试有考试的办法，毕竟做对就行了。

但平时，还是要了解下常规的思路。

本题和前面题最大的不同，在于实在是想不出来轨迹是谁了，那我们只能尽可能的分析其特征，看看能不能用排除法或特殊值法了。

作为考试来说，也是很好的思路。

留个悬念，自己思考呗！

方法总结

其实，不难看出，这种空间的轨迹问题，研究的主要还是解析几何中的几种曲线：

直线、圆、椭圆、双曲线与抛物线

基于这种认识，常规的思路就比较清楚了：

1.几何法：根据平面的性质进行判定；

2.截面法：根据丹德林双球进行判定；

3.定义法：转化为平面轨迹问题，

　用圆锥曲线定义判定，或用代数法进行计算；

4.其它：如果以上有困难，

　根据题型特征采用特殊值或排除法。

End