【原】第十二课时 杨辉与幻方

教学目标：了解中国的河图洛书及杨辉与幻方的关系，让学生体会中国数学的伟大成就，培养学生的数学兴趣

教学方法：共同探讨

教学过程：

一、复习

河图洛书和与洛书对应的九宫格      

   

如图12-1的幻方，引起数学家们的极大兴趣，人们自然会想到，存不存在更为复杂的幻方呢？如每边上的数字个数是4，5，6······？其次，能否利用杨辉的作法来作出更复杂的幻方呢？答案是肯定的。

一、杨辉与幻方

对于每边数的个数为n的n×n纵横图来说，其数字总数为n²。杨辉利用等差数列求和的方法计算得这n²个数的总和  为，用n除这个数，就得到每行（每列）n个数的和相等时各行各列数字之和为 。如n=3时，和为15；n=4时，其和为34；n=5时，其和为65。

 1、n为奇数时幻方制作和填图方法  

 下面看n=5时5×5纵横图的作法：

作25个数的斜排，如图12-2-1

     

                                                             图12-2-1 

如图12-2-2中每个方形对角线两顶点上的数字互换，1和25，21和5，11和15，23和3，12和14，18和8互换。结果如图12-2-3，这其实用的仍然是杨辉“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”的构造幻方的方法。

                

                             图12-2-2                                                图12-2-3         

“四维挺出”即是把图  12-2-4中“＋”字上的数字“挺出”到剪头所指的位置，就成就一幻方，如图12-2-5

                     

                           图12-2-4                                                    图12-2-5              

2、n为偶数时幻方制作和填图方法  

以四阶幻方为例

法一：杨辉的四阶幻方有一种是按照“易换法”制作的。制作过程如下：将1-16的16个数按顺序填入空格中，如图12-3-1。

　　将外四角4个数对换：1和16对换，4和13对换，如图12-3-2；

                         图12-3-1                      图12-3-2                       图12-3-3

    接着内四角四个数对换：6和11对换，7和10对换，如图12-3-3。

    这样就得到了一个纵列、横行、对角线上和数之和均为34的四阶幻方。把这个幻方旋转、对称翻转又能得到不同的幻方。

法二：“求等法”制作纵横图

把16个数字按大小顺序排成两列，如图12-4-1，其特点是每行两数之和为17。再分成四列，如图12-4-2，每行四个数的和都是定数34。

                       

             图12-4-1                      图12-4-2

其次来调整列，在不破坏各行四个数之和为34的前提下，使得和列四个数之和也为34，为此把二三行依竖中线翻转，得到图12-4-3。再不破坏行列各数之和为34的条件下，使得对角线上四数之和为34，为此，把三四列依横中线翻转，如图12-4-4。这样就作出了合格的纵横图了。

                   

              图12-4-3                             图12-4-4
    

杨辉共作出了二十几个纵横图，有方形的，还有别的形状的，有的阶数相当大。杨辉还设计过如图12-5和12-6这样的纵横图。

           

                    图12-5                        图12-6

 纵横图所包含的数学原理十分深奥，我国数学家们发挥他们的聪明才智，将复杂的问题简化了，并且找到许多有趣而且具有实际意义的规律和方法，这些成为组合数学历史研究的珍贵资料。直到近代，人们才发现它与组合数有关，在程序设计、图论、人工智能、对策论等方面都有广泛的应用前景。