|
初中精品微课， 数学奥林匹克国家一级教练执教。 【二次函数综合题】 ——化繁为简探究与角有关的问题 以[2017年沈阳市中考数学第25题]为例：  【写在前面的话】 我们拿到题目后，不要急于动手，先通过观察，获得感性材料，然后进行分析、归纳、联想、找到简洁明快的解题方法。观察，是解题的第一步。其次，几何画板进行动态演示较为直接，但对于动态性问题的静态分析寻找运动的轨迹也非常重要。下面以本题为例，随小编一起观察已知条件背后隐藏的秘密。 首先抛物线解析式是已知的，那么抛物线与坐标轴的交点坐标即可求，则OA=8，OC=8√(3)，那么我们就可以得出：△ABO是一个含30°的直角三角形，且∠ABO=30°。 其次：点M、N分别是线段OA、AB的中点，RtΔCDE≌RtΔABO，且ΔCDE始终保持边DE经过点 M , 边 CD经过点N ,那么这个条件我们能分析得到哪些结论？ 在图形的运动过程中，∠D始终为30°[定角]，点M、N始终在∠D的两条边上（边DE经过点 M , 边 CD经过点N ,），由三角形中位线定理得：MN=4√(3)[定弦]；我们就想到了定弦定角模型。 这一问题在沈阳中考也曾体现，2012年沈阳中考数学第24题，求四边形周长，相信大家都不陌生。 已知∠MON=60°[定角]，MN=4√(3)[定弦]，找到圆心P'，确定点O运动的轨迹 【思维教练】换句话说，想拆开图形分析本质，就得明白图形是如何建立起来的。通过上述启发，可得点D的运动轨迹，题目中“边 DE与 y轴交于点H , 边 CD与 y轴交于点G．”所以满足条件的D只能在 y轴左半部分的优弧上。 
【写在中间的话】 通过前面的叙述，我们开始做题：当DE∥AB时，证明四边形AMHN是平行四边形。【思维教练】（2）①求证: 四边形AMHN是平行四边形 ;
【思维教练】（2）②判断点 D是否在该抛物线的对称轴上 ;
【思维教练】（3）当边 CD经过点O时(此时点O与点G重合) , 过点 D作 DQ//OB ,交AB的延长线于点Q ,延长 ED到 K ,使 DK=DN ,过点 K作 KI//OB , 在KI上取一点P ,使∠PDK=45° (点P、 Q在直线 ED的同侧 ), 连接 PQ ,请直接写出PQ的长． 通过作图发现，当边CD经过点O时，此时点D恰好也在抛物线的对称轴上，与（2）①中的点D还有圆心D'都在抛物线的对称轴上。
【解法一】
【解法二与三对比解析】
具体解析如下:
【思维教练】由已知条件：∠PDK=45° (点P、 Q在直线 ED的同侧 ),我们继续挖掘 。点K在ED的延长线上，且∠CDE=∠CDQ=30°，所以可求∠PDQ=75°，由此容易想到半角模型。
【解法四】
【写在后面的话】
非常感谢线下一起交流，指出不足的老师们，就本题一些老师也提出了自己的想法，在此小编一起整理出来。 首先关于点D的提法，在（2）中我们已经证明点D在抛物线的对称轴上，而（3）中当边CD经过点O时，此时点D也落在抛物线的对称轴上。通过上述图形，我们不难提出因动点产生的等腰三角形问题；借助“两圆一线”。 如下图：
其次对于（3）有的老师又和小编交流，提出了两种解法，在此一并整理出来，如下图： 第一种：
|
|
|
