从a^2 b^2=0说起

我们知道，如果a^²+b^²=0，则a=b=0．这是实数的一个简单性质，这个简单性质在初中数学解题中却有着不简单的应用，当已知等式带有平方关系时，设法将它化为平方和等于0的形式后，问题便可以迎刃而解．请看：

例1 已知实数x、y满足x^²+y^²＝2（x＋y-1），求证：x=y=1．

解析：一个方程两个未知数，要想解出这两个未知数的值，一般方法是将这个方程化为两个平方和等于0的形式．因此，从已知等式入手，先把右边化为0，得：

x^²+y^²-2x-2y+2=0，

把常数项2拆分为1+1，将左边分为两组，得：

(x^²-2x+1)+(y^²-2y+1)=0，

分别配方，得：(x-1) ^²+(y-1) ^²=0，

所以x-1=0且y-1=0，

所以x=y=1.

例2 已知4x^²y^²+x^²+y^²+1=6xy，求(x-1)(y+1)的值．

解析：(x-1)(y+1)可化为xy+x-y-1，因此，设法从已知中求出x、y的值或xy、x-y的值．

已知等式只有一个，未知数却有两个，因此需要尝试将已知等式配方化为平方和等于0的形式．注意左边是四个数的平方和，它们可化为两数和（差）的平方和，但缺少交叉项xy，将右边的6xy移到左边，也许可以实现这个目标．

x^²y^²+4x^²+y^²+1-6xy=0，

将-6xy拆分为两部分-4xy与-2xy，分别与4x^²y^²+1和x^²+y^²组合，得：

(4x^²y^²-4xy+1)+(x^²-2xy+y^²)=0，

分别配方，得(2xy-1) ^²+(x-y) ^²=0，

所以2xy-1=0，且x-y=0，

即xy=1/2，且x-y=0，

所以(x-1)(y+1)=xy+(x-y)-1

=1/2+0-1=-1/2．

例3已知x^²+y^²-6x+8y+25=0，求x、y的值．

解析：将已知等式化为：

(x^²-6x+9)+(y^²+8y+16)=0，

配方，得：(x-3) ^²+(y+4) ^²=0，

所以x-3=0且y+4=0，

所以x=3，y=-4．

例4已知实数a、b、c满足a^²+b^² +c^²=ab+bc+ac，求证：a=b=c．

解析：设法将已知等式配方为(a-b) ^²+(b-c)²^ +(a-c) ^²=0.

把已知等式两边乘以2，并移项，得：

2a^²+2b^² +2c^²-2ab+2bc+2ac=0，

将2a^²+2b^² +2c^²拆分为a^²+b^² +c^²+ a^²+b^² +c^²，然后分组为：

(a^²-2ab+b^² )+(b^²-2bc+c^²)+(a^²-2ac+c^²)=0，

配方，得：(a-b) ^²+(b-c) ^² +(a-c) ^²=0，

所以a-b=0且b-c=0且a-c=0，

所以a=b=c．

例5已知a、b大于0，且a√(1-b^²)+b√(1-a^²)=1，求证：a^²+b^²=1．

解析：从求证的结论a^²+b^²=1可知，a=√(1-b^²)，b=√(1-a^²)，

因此，只需要证明[a-√(1-b^²)] ^²+[b-√(1-a^²)] ^²等于0即可．

因为[a-√(1-b^²)] ^²+[b-√(1-a^²)] ^²

=a^²-2 a√(1-b^²)+1-b^²+b^²-2 b√(1-a^²) +1-a^²

=2-2[a√(1-b^²)+b√(1-a^²)]，

=2-2×1=0，

所以a-√(1-b^²)=0且b-√(1-a^²)=0，

所以a=√(1-b^²)且b=√(1-a^²)，

两边平方，整理，得a^²+b^²=1．

例6求方程√x+√(y-1)+√(z-2)=(x+y+z)/2的实数解．

解析：设法将配方为平方和等于0的形式．

方程去分母，化为：x+y+z-2√x-2√(y-1)-2√(z-2)=0，

整理为：[x-2√x+1]+[(y-1)-2√(y-1)+1]+[(z-2)-2√(z-2)]=0，

注意到x=(√x)^²，y-1=[√(y-1)]^² ，z-2=[√(z-2)]^²，

因此可分别配方，得：

(√x-1) ^²+[√(y-1)-1] ^²+[√(z-2)-1] ^²=0，

所以√x-1=0且√(y-1)-1=0且√(z-2)-1=0，

分别解之，得：x=1，y=2，z=3.

例7 已知四边形的四边a、b、c、d满足a⁴+b⁴+c⁴+d⁴=4abcd．求证：四边形是菱形．

解析：首先，把已知等式的右边化为0的形式，得：

a⁴^+b^⁴+c^⁴+d^⁴-4abcd=0，

既然要证明a=b=c=d，那就说明这个等式可以化为关于a、b、c、d差的平方和等于0的形式．

根据完全平方公式，先把a^⁴+b^⁴和c^⁴+d^⁴分别化为：

a^⁴+b^⁴ =(a^²-b^²) ^²+2a^²b^²；

c^⁴+d^⁴=(c^²-d^²) ^²+2c^²d^²；

则已知等式可化为：

(a^²-b^²) ^²+2a^²b^²+(c^²-d^²) ^²+2c^²d^²-4abcd；

整理为：(a^²-b^²) ^²+ (c^²-d²^)^²+2(a^²b^²-2abcd+c^²d^²)=0，

显然，a^²b^²-2abcd+c^²d^²=(ab-cd) ^²，

所以(a^²-b^²) ^²+ (c^²-d^²) ^²+2(ab-cd) ^²=0，

所以a^²-b^²=c^²-d^²=2(ab-cd)=0，

所以a^²=b^²，c^²=d^²，ab=cd，

因为a、b、c、d都是正数，

所以a=b=c=d，

所以四边形是菱形．