【原】第十六课时 国际圆周率的发展历史

教学目标：了解无理数π在国际上的发展。了解无理数π在国际上发展变化

教学过程：

一、问题导入

一个半径为3的圆，面积是多少？

其中π的含义是什么？

二、π的发展

圆周率是一个极其驰名中处的数。

从有文字记载的历史开始，这个数就引进了外行人和学者们的兴趣。作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题。仅凭这一点，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。事实也是如此，几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。

1706年，琼斯用“π”来表示圆周率。得到了数学家们的认可。

回顾历史，人类对“π”的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。π的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。德国数学家、集合论创始人康托说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。”

直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路，它的历史是饶有趣味的。我们可以将这一计算历程分为几个阶段。

1. (一)实验时期 
   

通过实验对“π”值进行估算，这是计算π的的第一阶段。这种对π值的估算基本上都是以观察或实验为根据，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。

在古代，中外长期使用的圆周率是 π ＝3。

最早见于文字记载的圆周率，是《圣经》中的章节，其上取圆周率为3。这一段描述的事大约发生在公元前950年前后。其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值。在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传。我国第一部数学著作《周髀算经》中，就记载有圆“周三径一”这一结论。在我国，木工师傅有两句从古流传下来的口诀：叫做：“周三径一，方五斜七”，意思是说，直径为1的圆，周长大约是3，边长为5的正方形，对角线之长约为7。这正反映了早期人们对圆周率 π 和 这两个无理数的粗略估计。东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算圆面积的标准。

圆周率取3，后人称之为“古率”。

早期的人们还使用了其它的粗糙方法。如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形对比的方法取得数值。或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此，得到圆周率的稍好些的值。如古埃及人应用了约四千年的  3.1605。在印度，公元前六世纪，曾取 π= 3.162。在我国东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器——律嘉量斛。刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。为此，他大约也是通过做实验，得到一些关于圆周率的并不划一的近似值。现在根据铭文推算，其计算值分别取为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比径一周三的古率已有所进步。人类的这种探索的结果，当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。 

(二)几何法时期

凭直观推测或实物度量，来计算“π”值的实验方法所得到的结果是相当粗略的。中外数学家们经过努力，开创了求圆周率π的几何时代。

１、国内 

在我国，东汉的张衡也不满足于用3这个数值进行计算的有关圆的结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率3.162。三国时王蕃推算出的圆周率数值为3.155。这几个数值比“周三径一”要好些。

但魏晋期间伟大的数学家刘徽认为张衡计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。他在魏陈留王景元4年即公元263年撰写的杰作《九章算术注》中利用极限思想，创造了“割圆术”，把圆内接正多边形的面积一直算到了正192边形，得到了精确到小数点后两位的近似数3.14，化为分数是157/50，这就是著名的“徽率”。他指出这是不足近似值。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。

“割圆术”从理论上能把圆周率的值计算到任意精度。

另外，有人认为在割圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法，以致于他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率π＝3927/1250 ＝3.1416。而这一结果，正如刘徽本人指出的，如果通过割圆计算得出这个结果，需要割到3072边形。这一神奇的精加工技术是割圆术中最为精彩的部分。

刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法很自信，把它推广到有关圆形计算的各个方面。

虽然刘徽提出割圆术的时间比阿基米德晚一些，但其方法确有着较阿基米德方法更美妙之处。割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，比阿基米德用内接同时又用外切正多边形简捷得多。

恐怕大家更加熟悉的是祖冲之（公元429-500）所做出的贡献吧。对此，《隋书·律历志》有如下记载：“宋末，南徐州从事祖冲之更开密法。以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。” 

南北朝时的祖冲之关于圆周率有两大贡献。一是求得圆周率 3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927 ，二是得到 π 的两个近似分数：约率   ；密率     。他算出的 π 的8位可靠数字3.1415926，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。以致于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”。 

后人曾推算若要单纯地通过计算圆内接多边形边长的话，得到这一结果，需要算到圆内接正12288边形，才能得到这样精确度的值。祖冲之是否还使用了其它的巧妙办法来简化计算呢？这已经不得而知，因为记载其研究成果的著作《缀术》早已失传了。这在中国数学发展史上是一件极令人痛惜的事。

2、国际

真正使圆周率计算建立在科学的基础上的，首功并不是中国人，而是伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德（公元前287年—公元前212年）。他是科学地研究这一常数的第一个人，是他首先提出了一种能够借助数学过程而不是通过测量的方法，把π的值精确到任意精度的方法。由此，开创了圆周率计算的第二阶段。 

他的算法，体现在他的一篇论文《圆的测定》之中，他从单位圆出发，先用内接六边形求出圆周率的下界是3，再用外接六边形结合勾股定理求出圆周率的上限为4，接着对内接和外切正多边形的边数加倍，分别变成了12边型，直到内切和外接多边形成为96边型为止。最后他求出上界和下界分别为　　和　　，并取他们的平均值3.141851为近似值，他用到了迭代算法和两数逼近的概念，称得上是计算的鼻祖。

他还提供了误差的估计。重要的是，这种方法从理论上而言，能够求得圆周率的更准确的值。

继中国数学家祖冲之之后，1000年间，圆周率的研究再没有什么突破。

1150年，印度数学家婆什迦罗第二计算出 π= 3927/1250 = 3.1416。

1424年，中亚细亚地区的天文学家、数学家卡西著《圆周论》，计算了3×228＝805,306,368边内接与外切正多边形的周长，求出 π 值，他的结果是： π＝3.14159265358979325 ，有十七位准确数字。这是国外第一次打破祖冲之的记录。

1573年，德国人奥托利用阿基米德的成果　　与托勒密的结果　　，用如下的方法才合成了袓冲之的密率：  。1585年，荷兰人安托尼兹用阿基米德的方法先求得：　，分子、分母各取平均，获得结果　　。 

两个虽都得出了祖冲之密率，但使用方法都为偶合，无理由可言。 

16世纪的法国数学家韦达（公元1540-1603）利用阿基米德的方法计算 π 近似值，用 6×216正边形，推算出精确到9位小数的π值。他所采用的仍然是阿基米德的方法，但韦达却拥有比阿基米德更先进的工具：十进位置制。

17世纪初，德国人鲁道夫用了几乎一生的时间钻研这个问题。他也将新的十进制与早的阿基米德方法结合起来，但他不是从正六边形开始并将其边数翻番的，他是从正方形开始的，一直推导出了有262条边的正多边形，约4,610,000,000,000,000,000边形！这样，算出小数35位。为了记念他的这一非凡成果，在德国圆周率“π”被称为“鲁道夫数”。他死后别人便把这个数刻到他的墓碑上。

但是，用几何方法求其值，计算量很大，这样算下去，穷数学家一生也改进不了多少。到鲁道夫可以说已经登峰造极，古典方法已引导数学家们走得很远，再向前推进，必须在方法上有所突破。

17世纪出现了数学分析，这锐利的工具使得许多初等数学束手无策的问题迎刃而解。“π”的计算历史也随之进入了一个新的阶段。

（三）分析法时期

这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算 π 。

１593年，韦达给出 π 的最早分析表达式。 

1706年，琼斯用 π 来表示圆周率。

19世纪以后， π 的位数迅速增长。

1873年，谢克斯利用级数公式将 π 算到小数后707位。为了得到这项空前的纪录，他花费了二十年的时间。他死后，人们将这凝聚着他毕生心血的数值，铭刻在他的墓碑上，以颂扬他顽强的意志和坚韧不拔的毅力。于是在他的墓碑上留下了他一生心血的结晶： π 的小数点后707位数值。这一惊人的结果成为此后74年的标准。此后半个世纪，人们对他的计算结果深信不疑，或者说即便怀疑也没有办法来检查它是否正确。以致于在1937年巴黎博览会发现馆的天井里，依然显赫地刻着他求出的 π 值。

又过了若干年，数学家弗格森对他的计算结果产生了怀疑，其疑问基于如下猜想：在 π 的数值中，尽管各数字排列没有规律可循，但是各数码出现的机会应该相同。当他对谢克斯的结果进行统计时，发现各数字出现次数过于参差不齐。于是怀疑有误。他使用了当时所能找到的最先进的计算工具，从1944年5月到1945年5月，算了整整一年。1946年，弗格森发现第528位是错的（应为4，误为5）。谢克斯的值中足足有一百多位全都报了销。

1948年1月弗格森和伦奇两人共同发表有808位正确小数的 π 。这是人工计算 π 的最高记录。

（四）计算机时期

1946年，世界第一台计算机ENIAC制造成功，标志着人类历史迈入了电脑时代。电脑的出现导致了计算方面的根本革命。

1949年，ENIAC根据梅钦公式计算到2035（一说是2037）位小数，包括准备和整理时间在内仅用了70小时。

1973年，有人就把圆周率算到了小数点后100万位，并将结果印成一本二百页厚的书，可谓世界上最枯燥无味的书了。

1989年突破10亿大关，

1995年10月超过64亿位。

1999年9月30日，《文摘报》报道，日本东京大学教授金田康正已求到2061.5843亿位的小数值。如果将这些数字打印在A4大小的复印纸上，令每页印2万位数字。
    ······

到目前为止，圆周率已算到60,000,000,000,000位小数。

从有必要的计算精度，发展到目前没有意义的、为计算而计算的程度，也是数学的一大奇葩了。