欧几里得编著的《几何原本》描绘了过直线外一点仅有一条平行线（平行公设）的空间，也是我们在初高中学习的空间。《几何原本》以五条公设（适用于一切科学的真理）和五条公理（应用于几何的真理）为地基，借助严密的逻辑推理构建出一座结构严谨、宏伟壮观的摩天大厦。首先，欧几里得使用公理和公设推出初级的定理，再用初级定理和公理、公设推出更高级的定理，再推出更更高级的定理……如此，一步一步带领无数人走向几何的圣殿。前四条公设都非常简洁优雅，比如从任意一点到任意一点做直线是可能的（第一公设）。第五公设（平行公设）看起来并不是那么的显然，所以欧几里得在前28个命题的证明里都避免使用它。（几何原本中有上百个命题，按照顺序排列，最前面的等级低一些，前28个只用四个公设就可以证明。）更为可靠的做法是，像证明定理那样证明第五公设。然而，他没有找到证明，于是就直接接纳了。 第五公设让数学家们如鲠在喉。不幸的是，许多数学家在证明第五公设的道路上折戟沉沙。其中一个思路是：将第五公设的反面作为新的第五公设开始推演几何学。如果得到矛盾则第五公设的反面不靠谱，即第五公设是正确的。但是数学家们发现没有矛盾存在，最终接受了它，并形成了全新的几何。双曲几何中存在两条过直线外一点，与已知直线平行的直线。椭圆几何中不存在这样的直线。 椭圆几何视觉化后，“点”是由球的一条直径的两个端点组成。“线”是球上以球心为中心的大圆。而在欧几里得的《几何原本》中，定义点是“没有部分的那种东西”，线是“没有宽度的长度”。它如此符合目之所见，以至于人们将它奉为圭臬，排斥一切与它不一样的东西。在构建欧几里得几何体系的时候，我们想当然地将“点”“线”与现实中的“圆点”“直线”联系起来，而忽略了在符号系统中它们仅仅只是符号而已。 实际上，如果将欧几里得几何中的词语“点”全部替换成“魔鬼”，“线”全部替换成“国王”，我们仍然能够得到原来的那个体系，逻辑推理丝毫没有受到影响。只不过我们的想象受到了严重的阻碍。我们会疑惑“魔鬼”是什么？命题“在给定的国王上做一等边三角形”是什么意思？为了让自己的大脑能够思考，我们将“魔鬼”赋予“点”——那种“没有部分的东西”的意义，而彻底放弃思考它是否还有其他的意义。这导致了发现非欧几何是一个痛苦的过程，因为最开始定义的东西并不一定是我们看到的东西。 （本栏长期征集“日知录”三字篆刻，投稿邮箱：rizhilu999@163.com） |
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