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第一课时 平面向量数量积的物理背景及其含义 学习目标： 1、以物理中“功”等实例，认识平面向量数量积的含义及其物理意义， 2、通过对向量投影定义和平面向量的数量积几何意义的学习，体会平面向量的数量积与向量投影的关系； 3、通过对平面向量数量积的性质、运算律的探究，体会类比与归纳、对比与辨析、定义与证明等数学方法，正确熟练的应用平面向量数量积的定义、性质、运算律进行运算。 学习重点： 平面向量数量积的概念、性质的发现与论证；正确熟练的应用平面向量数量积的定义、性质、运算律进行相关运算。 学习难点：平面向量数量积、向量投影及运算律的理解 学习过程： 一、知识链接 在物理中，我们学习了功。我们知道，如果一个物体在 力的作用下产生位移，那么力所做得功为： （其中是与的夹角） 二、新识探究 思考：从数学的角度思考上述问题：功是一个 ，它由力和位移两个 向量的 和 来确定。我们可以把“功”看成是两个向量和运算的结果。 1、向量的数量积（内积）的定义：已知两个 向量与， 我们把 叫做与的数量积（或内积）， 记作 ，即： ， 其中是 。 2、 叫做向量在方向上（向量在方向上）的投影， 如图： . 说明：（1）规定：零向量与任一向量的数量积为； （2）向量的数量积是一个 ，其大小与 有关，而向量线性运算的结果是一个 ； （3）投影是一个数量，而不是向量. 向量在方向上的投影： ； 向量在方向上的投影： ； （4）正确吗？为什么？ 3、向量数量积的几何意义 .[来源:Z,xx,k.Com] 4、向量数量积的性质：设与是两个非零向量，向量是与向量同向的单位向量，是与的夹角，[来源:学&科&网Z&X&X&K] （1） ； （2） ； （3）与同向时， ；与反向时， ；特别地 ， ，即 ； （4） ； （5） 5、数量积的运算律： （1）交换律 （2）数乘结合律 （3）分配律 常用性质： ； ； . ； 推导: 三、知识应用 例1、已知，. （1）与的夹角是时，求① ② ③. （2）若 例2、已知，，与的夹角是，求. 例3、若，，与不共线，为何值时，+与-互相垂直？ 四、课堂小结： 1、两个向量的数量积是 ，而不是数量，其符号仅由两个向量的 决定； 2、向量的数量积是论证垂直和求模长的重要工具，牢记夹角公式和模长公式； 如下对于两个非零向量与，其夹角为，则有：
3、牢记向量运算律：
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