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初中数学中，'化斜为直”作为一种解题策略，应用相当广泛，也可以说是一种重要的转化思想，它可以将各种'斜”元素转化为'直”元素，如将'斜”线段化到'直”线段，'斜'距离化到'直'距离，'斜”比化到'直”比，'斜”角化到'直“角，'斜'三角形化到'直”三角形，'斜”正方形化到'直“正方形，'斜”面积化到'直”面积，'斜'运动化到'直“运动等，常见作'水平，竖直'的辅助线，当然不是唯一的，下面以几例三角函数题进行说明. 一.无直角，无等角的三角形作高 1.如图，在△ABC中，已知BC=1+√3，∠B=60°，∠C=45°，求AB的长. 由于∠C=45°，则AD=DC，又由于∠B=60°，则AB=AD÷sin60°=2√3AD/3，从而斜线段AB转化为竖直线段AD，又BD=AD÷tan60°=AD÷√3=√3AD/3，设AD=DC=x，则BD=√3x/3，∴√3x/3+x=1+√3，解得x=√3，则AB=2√3×√3/3=2. 二.有直角、无三角形的图形延长某些边 2.如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠D=∠B=90°，求四边形ABCD的面积. ∵∠A=60°，∠B=90°∴∠E=30°，在Rt△ABE中，BE=AB/tan30°=2/tan30°=2√3，在Rt△CDE中，EC=2CD=2，∴DE=EC×cos30°=2×√3/2=√3，∴S四边形ABCD=SRt△ABE一SRt△ECD=1/2×AB×BE一1/2×CD×ED=1/2×2×2√3一1/2×1×√3=3√3/2. 当然本题也可用下图几种方法计算，给出图形，同学们自己做一做. ① ③ 【分析】条件有sin∠BCD=1/3，但没有∠BCD所在的直角三角形，无法利用，但已知DC⊥AC，且D为AB的中点，通过倍长中线或作垂线都能构造含∠BCD的直角三角形，如图，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E， 【分析】∵AB=AC=5，BC=8，则等腰△ABC是确定的，又∠BPC=1/2∠BAC，我们就想到过点A作AE⊥BC于E，如图，(利用三线合一) 【分析】网格图形有关的题目，近年来在中考中常常出现，网格图本身有'水平，竖直的平行线，网格图中易于找线段间的比值关系，易于找相关的直角三角形，从而为解题带来了方便. (1)观察到∠CPN不在直角三角形中，需构造一个含与∠CPN等角的直角三角形，注意到CE是正方形的对角线，则连接格点M，N，MN∥CE，再连接格点D，M，则∠DMN=90°，∠DNM=∠CPN，∴tan∠CPN=tan∠DNM=DM/MN=2√2/√2=2. (3)通过条件分析，构建以BC为1个单位长的网格图，连接格点A，D，格点D，N，如下图， 则AD∥CM，∴∠CPN=∠DAN，∠ADN=90°，在Rt△ADN中，AD=DN=√10，AN=2√5，∴cos∠CPN=cos∠DAN=AD/AN=√2/2，∴锐角∠CPN=∠DAN=45°. 【总结】以上列举了，化'斜”为'直“的常见方法，不管题目难还是易，但本身这一策略很重要，有了这一策略，遇到相关题目时心中便有了方法，不至于束手无策，平时做题时有意识地运用这一策略，方能使解题能力更上一层楼。解题方法有多种，需要同学们内化吸收，归纳总结，就像一个艺人一样，怀揣独门绝技，便能无往而不胜。 |
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