《论语》中孔子多次提到“一以贯之”。 子曰:“参乎,吾道一以贯之。”曾子曰:“唯。”子出,门人问曰:“何谓也?”曾子曰:“夫子之道,忠恕而已矣。” 子曰:“赐也!汝以予为多学而识之者与?”对曰:“然,非与?”曰:“非也。予一以贯之。” 任何学科的学习都不能仅靠“多学而识之”(学了很多然后记住它),而应该“一以贯之”(用一种原则去贯穿它)。当然,这个“一”有不同的层次,抽象的程度越高,可贯穿的东西就越多。 解题也是一样,要寻求“一”去贯穿一个问题、一类问题、一切问题。也就是要做两件事,诸法归一和一以贯之,前者是抽象概括,从特殊到一般,后者是逻辑推理,从一般到特殊,这两样正是最重要的两大数学核心素养。 试举一例,看如何在解题中进行“诸法归一”和“一以贯之”的引导。 (2018扬州卷27题)问题呈现: 如图1,在边长为1的正方形网格中,连接格点D,N和E,C,DN和EC相交于点P,求tan∠CPN的值. 方法归纳: 求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接格点M,N,可得MN∥EC,则∠DNM=∠CPN,连接DM,那么∠CPN就变换到Rt△DMN中. 问题解决: (1)直接写出图1中tan∠CPN的值为 ; (2)如图2,在边长为1的正方形网格中,AN与CM相交于点P,求cos∠CPN的值; 思维拓展 (3)如图3,AB⊥BC,AB=4BC,点M在AB上,且AM=BC,延长CB到N,使BN=2BC,连接AN交CM的延长线于点P,用上述方法构造网格求∠CPN的度数. 师:网格中可以确定的是什么数量?一般利用什么求值? 生:格点线段的长可以利用勾股定理求值。 师:图1中的∠CPN与什么格点线段有关? 生:∠CPN是CE、DN相交而成的。 师:三角函数值要在什么图形中求呢? 生:当然是在直角三角形中啦! 师:你有什么想法吗? 生:构造直角三角形。 师:图1中的关键条件和关键图形是什么? 生:关键是CE、DN两条线,因为它们决定∠CPN的大小。 师:原图模型不完整,需要进行完形构造,是如何构造的? 生:把CE和DN其中一条线段平移,与另一条线段组成直角三角形。 师:为什么要平移呢? 生:保持夹角不变呀。 师:很好,按照这个思路画出图形,除了题中的画法,如果不受网格限制,看你还能想到多少种。 生: 师:还有其它画法吗? 生:……好像没有了。 师:谁能用一句话提炼概括一下刚才的几种构造方法共同点? 生:把其中一条线段平移使之与另一条线段拼成一个直角三角形。 师:是把图中任意一条线段平移吗? 生:……必须是格点线段,否则不好计算长度。 师:真的没有其它方法了?看看我这样行不? 你发现了什么? 生:可以同时平移两条线段,构成格点三角形,就能把∠CPN通过平行线转化到格点直角三角形中,从而求出∠CPN的三角函数值。 师:那么有多少种构造方法呢? 生:……似乎是无数种! 师:对啊,若没有网格大小的限制,可以有无数种构造方法,只要把两条格点线段平移拼成直角三角形就行,那么较简单的方法是什么? 生:一条线段不动,把另一条线段平移与它一端重合,就可以组成格点直角三角形,这样把所求角进行一次转化就可以了,否则所求角要进行两次转化。 师:后面的问题还难吗?请画出较简单的构造方法。 然后,绝大部分同学轻松地画出了多种不同的构造图形(注意下为什么平移CM而不是CP)。如第(3)小题: 在探讨第(1)小题时,是诸法归一,解决后面的问题时,是一以贯之,图形虽不一样,构造方法完全一样。 |
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