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在几何的解题中，当题目给出的条件不明显或者比较分散时，我们可以对图形作一定的变换，这样可能有利于发现问题的隐含条件，抓住问题的关键和实质，使问题求解得以突破．图形变换是一种重要的数学思想方法，它以一种变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题. 图形变换，包括图形的平移、翻折、旋转等全等变换，也包括图形的位似等相似变换，它在初中数学几何教学及解题中的作用毋庸置疑，其重要性不言而喻.学生若能很好地领会这种解题思想实质，并能准确合理运用，解题往往会收到奇效，也必将有效地提高学生的思维品质． 本文拟以几道经典几何题入手，尝试从一题多解、多解归一的角度来分析解读，期盼最终能让大家对于如何在几何解题中实施图形变换策略有进一步的认知. 例1：试说明任意三角形的三条中线都可以构成一个新的三角形，且新三角形的面积等于原三角形面积的3/4. 此题无图，需画图分析.如图1，任画一个△ABC以及其三条中线AD、BE、CF，此问题就是要说明线段AD、BE、CF可以构成一个新的三角形，并且其面积等于△ABC面积的3/4.  那么问题来了，此三条线段AD、BE、CF过于分散，如何才能将它们集中在同一个三角形中，这必然就是解题之关键所在，而图形变换正是解决此类问题的“金钥匙”. 从对称、和谐的角度来看，考虑到A、B、C三点“地位等价”，D、E、F三点“地位等价”，因此只需将目光聚焦在点C或点D处，其他方法类似！ 解法一：如图1－1，构造□AFEG，再连接GF、GC，易得四边形BEGF以及四边形ADCG均为平行四边形，如图1－2及图1－3.从而有BE＝FG且AD＝GC，故△CFG即为所需的三角形，如图1－4.       解题后反思：解法一通过构造若干平行四边形，先将目标三线段中的AD平移至CG处，然后聚焦△CFG中，它将要求的三条分散线段集中在一起.用图形变换的眼光来看待此解法，其实就是平移变换，其达到的效果是将风马牛不相及的几条线段拼接在一块，首尾相连、“彼此相守”，问题的解决也就顺理成章了. 既然可以先将AD平移至点C处，那么也可以先将BE平移至点C处，即为解法二. 解法二：具体构造如图1－6所示，同解法一，不再详述.  解题后反思：解法一与解法二的共性是，见“双中点”，连中位线，再平移中位线，构造一个平行四边形，又自然生成两个新的平行四边形，从而顺利平移目标线段于同一个三角形中.连接或构造中位线是中点问题的常见处理手法，而“倍长中线”也是中点问题的常见处理方法，请看解法三与解法四. 解法三：如图1－7，延长BE至点M，使EM＝BE，连接MA、MC，则四边形ABCM为平行四边形.再取AM的中点N，连接CN、FN，易证AD＝CN，BE＝FN，从而△CFN即为所需的三角形.   解题后反思：解法三中主要采取了“倍长中线”策略以及构造中位线法，达到了平移之效，从而聚合分散的条件于同一个三角形中，顺利解决问题.若是将图中所有的点都连接起来，可谓“平四成灾”，极其有趣，不妨一试. 解法三先将线段AD平移至点C处，也可以先将BE平移至点C处，即为解法四. 解法四：具体构造如图1－8所示，同解法三，不再详述.  考虑到A、B、C三点“地位等价”，这样自然就会产生4×3共计12种解法，它们都是“一伙的”，大家可以自行探究. 接下来，将目光聚焦在点D处，又会产生若干证法，具体如下： 解法五：如图1－9，先“倍长”中线AD＝DG，再平移FC至DO处，易证BE＝GO，从而△DGO即为所需的三角形，其面积转化不再赘述，请自行思考，下同. 解法六：如图1－10，同解法五，下略. 考虑到D、E、F三点“地位等价”，这样又会产生2×3共计6种解法，它们都是“一伙的”，请大家自行探究. 若是记△ABC的三条中线交于点G，其实G点即为其重心.目光聚焦在重心G处，将目标三线段都平移至点G处，还会产生6种解法，下面详细解读其中之一. 解法七：如图1－11，延长GA至点M处，使GM＝DA，再延长GE至点N处，使GN＝BE，连接MN，只要证明出MN＝CF即可； 取AG的中点O，连接EO，则易知点O、E分别GM、GN的三等分点，从而易得MN＝3OE.且易知CG＝2OE，由重心的性质得CF＝3/2CG＝3OE，因此有MN＝CF，问题得证. 其他5种解法，同图1－12构造，不再赘述！ 前面共产生了12＋6＋6＝24种解法.笔者目的当然不是说真的采取如此之多的雷同法，而是想表达出平移变换在解决此类问题中的重要作用，以期达到“不管如何平移都可解决问题”之效，当然这有点夸张之意. 考虑到平移不改变图形的形状与大小，仅改变图形的位置，其实在平面内任取一点T，如图1－13，原三条中线都可以平移得到△TMN，新三角形的三个内角即为相应的原中线构成的锐角.这就是几何探究的乐趣之所在，“数学好玩，好玩数学，玩好数学”正是数学前辈们对新一代教师及学生的期盼啊！ 前面的若干解法，说到底就是平移变换在几何解题中的应用，问题的关键是如何平移才能达到期盼之果，而中位线、倍长中线、构造平四等都是常见的处理手段. 解题后反思：解法八与解法九，相当于在解法七的基础上，结合位似变换，将图形同比例放缩后产生的新解法.站在图形变换的角度来看，其本质就是平移变换结合位似变换. 通过例1，我们可以深刻体会到平移变换在此类几何问题中的巨大作用，不敢说“怎么平移都可以”，但至少尝试平移是绝无问题的.只要通过适当的平移，能将条件以及结论尽可能多地聚焦在一起，解决问题多数是没问题的，平移变换给我们提供了解题的方向. 下面再来看看例2，以便深化对于平移变换的认知，达到巩固之效. 例2：如图2，在RtDABC中，∠C＝90°，点M在边BC上，且MB＝AC，点N在边AC上，且AN＝MC，AM与BN交于点P，求证：∠BPM＝45°. 已知中有两组相等线段，但条件过于分散，而且与所求结论好不搭界，直接应用不太现实，如何才能将它们集中在一块，这必然成了解题之关键所在.平移变换再次为解题指明方向，提供线索.下面是经过若干次平移尝试后得到的五种解法，供大家类比探究. 解法一：如图2－1，构造□BMAG，将线段MB平移至AG处，再连接GN交AM于点H，易得RtDACM≌RtDGAN，则有GN＝AM＝GB，且GN⊥AM，从而∠BGN＝∠PHN＝90°，故DBGN为等腰直角三角形，因此有∠BPM＝∠GBN＝45°，问题得解. 解题后反思：前两种解法都是将目光聚焦在点A处，平移已知中涉及的比较分散的等线段，构造平行四边形等，从而产生等腰直角三角形，与结论45°挂钩，为解决问题牵线搭桥.另外，这两种解法都可以得到一个有趣的有关边的结论，即BN＝根号2倍AM，这也是能构造出所需等腰直角三角形的必然. 若是用“四点共圆”的视角来看解法二，如图2－3，真可谓“共圆成灾”，趣哉趣哉！ 解法三：如图2－4，构造□BNGM，将线段BM平移至NG处，再连接GA、GM，易得RtDACM≌RtDGNA，则有AM＝GA，且AM⊥GA，从而DMAG为等腰直角三角形，因此有∠BPM＝∠AMG＝45°，问题得解. 解法四：如图2－5，构造□AMGN，将线段AN平移至MG处，再连接GB、GN，同理可得DGBN为等腰直角三角形，因此有∠BPM＝∠BNG＝45°，问题得解. 解题后反思：解法三与解法四都是通过构造平行四边形，将已知中涉及的比较分散的等线段平移至点N或M处，从而产生等腰直角三角形.平移变换在解决此类条件比较离散的问题中作用之大不言而喻. 更有趣的是下面的解法五，依然通过构造平行四边形来平移分散等线段，竟然还得出了学生熟知的“一线三直角”全等K字型结构，再次体现出平移变换的神奇之效. 解法五：如图2－6，构造□ANBG，将线段NA平移至BG处，再连接GA、GM，同理可得DGAM为等腰直角三角形，因此有∠BPM＝∠GAM＝45°，问题得解. 前面五种解法的共通之处是平移变换，其作用是将分散条件集中在一块，进而产生一些为人熟知的结构，推导出“意外的”等腰直角三角形，最终得到所需的45°角. 为开拓思维，下面笔者再提供一些有趣的代数想法. 在解法五图的基础上，若将其补成矩形，如图2－9，这也是一种重要的“矩形大法”构造方式，在此图的基础上也可以解决问题，极其有趣. 解法六主要用到了三角函数以及“矩形大法”，不妨称之为“三角法”，属于代数法中极其重要的一个分支，可以解决很多诸如此类的问题. 当然此题还可以完全采取“建系解析法”“暴力计算”求解： 解题后反思：例2的多种解法主要涉及平移变换法，将分散条件集中化，越聚合越有利.平移为我们解决相关问题指明方向，为我们的几何构造提供了主要依据.另外，后面涉及的三角法及解析法都是应用极其广泛的通解通法，给我们的解题研究开辟了一些新的道路，还有初中阶段“矩形大法”处理任意两角和差倍分角，都是在很大范围内适用的，需引起同学们的关注与重视. 最后再提供一道有趣的最值问题，主要从“捆绑变换”、“旋转变换”等角度一题多解，甚至一题多变. 例3：如图3，已知P是正方形ABCD外的一点，PA＝3，PB＝4，求PC的最大值. 针对此题，为发散思维，下面给出多种解法，供大家类比参考； 解法一（“瓜豆”原理）：应用此法，关键是要瞄准“定点”、“主动点”以及“从动点”，然后分析这两个动点关于此定点的位置关系； 第一步（分析出“瓜豆三点”，即“定点”、“主动点”以及“从动点”）：如图3－1，由题可视PB为定线段，其长为4，这里定点B可视为“旋转中心”； 由PA＝3，可视A为“主动点”，其运动轨迹为以定点P为圆心，定长3为半径的圆； 目标点C可视为“从动点”，连接AC，锁定等腰Rt△ABC； 第二步（分析“主动点”与“从动点”运动轨迹间的关系）：如图3－2，红线⊙P代表“主动点”A的运动轨迹，由等腰Rt△ABC结合“瓜豆”原理可知，“从动点”C的运动轨迹为蓝线⊙P′，其圆心P′是由“主动圆心”P绕着定点B按顺时针方向旋转90°而来，且其半径不变，依然为3； 解题后反思：告诉同学们一个秘密，其实解法二我是偷懒了，笔者只是将解法一中第一种“瓜豆法”的圆全部隐去，将其图形复制过来，就自然产生了这里的解法二！ 越类比，越有趣！这里的“瓜豆法”与“旋转法”一脉相承，前者相较于后者，看似多了一些辅助圆以及一些图形变换的“招式”，但笔者认为“瓜豆法”相当于给我们提供了一条明线，它告诉了我们，为什么“旋转法”里要这样添加辅助线！所以，笔者相对而言还是倾向于前者多一些，教者还是更应该教给学生“为什么”，而不是“是什么”，授之以鱼不如授之以渔！ 当然，“旋转法”也具备自身的优势，它不必辨析动点之间的位置变换关系，所以看上去更简洁些，但对模型构造的要求较高！ 下面笔者继续拓展，给大家介绍一下所谓“旋转六法”！（特别说明：“旋转六法”学悟于网络大神哈尔滨“金狮子”大人的“只言片语”，笔者如此“捕风捉影”式的学习，若有不当，敬请指出） 说起“旋转六法”之前，我们不妨再试试，将解法一中的第二种“瓜豆法”中的圆全部隐去，看看能否自然生成第二种“旋转法”： 解题后反思：这里的“旋转相似法”与解法一中第二种“瓜豆法”一脉相承，前者相当于后者的精简版，后者相当于前者的完整版，前者偏向于旋转模型的构造，后者偏向于动点间位置变换关系的分析，前者告诉我们“是什么”，后者告诉我们“为什么”，建议同学们都去体悟下，尤其是类比体悟更有趣！ 上面的“旋转法”属于“旋转六法”中的其中两种，下面笔者继续推进“旋转六法”！ 由于本题中等腰Rt△ABC的形状是确定的，可以视P是动点，因此可以理解为线段PA、PB、PC分别绕点A、B、C三点在作旋转，可以利用旋转建立起PA、PB、PC三者之间的关系，此类旋转方式可以有六种（含上面的两种解法），故称之为“旋转六法”！“见不等三爪图，造旋转”是师父王特对我们的教诲！ 下面笔者仅提供其他四种“旋转法”的简图，供同学们自行探究！ 解题后反思：至此，“旋转六法”全部呈现了出来，从这个角度来看，“旋转法”相较于“瓜豆法”看上去更“牛逼哄哄”些，可以让人脑洞更大开些，思维无极限！而且“旋转法”中视点P为动点，而“瓜豆法”中却视点P为定点，这种动静转化也值得同学们关注，正如世界上没有绝对静止的东西一样，解题的世界里也并没有绝对的套路，建立模型，再打破模型，后重建模型，如此反复循环，我们的解题之道才能越铺越远！ 有关此题，笔者最后再介绍一种“秒杀法”，即用到更高深的所谓“广义托勒密定理”！为此先介绍一下相关的定理，至于定理的证明，这里就不再赘述了，请同学们自行查阅！ (1)托勒密(Ptolemy)定理：（来源于百度百科） 圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积. 如下图所示，圆的内接四边形ABCD中，一定有AB×CD＋BC×AD＝AC×BD成立. 友情提醒：托勒密(Ptolemy)定理亦可以通过“旋转相似一拖二”证明出来，不再展开！ (3)托勒密(Ptolemy)定理的推广之托勒密不等式：（来源于百度百科） 任意凸四边形的两组对边乘积之和不小于其对角线的乘积，当且仅当此凸四边形的四个顶点共圆或共线时取等号. 如上图所示，对于任意的凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD＋AD·BC，当且仅当A、B、C、D四点共圆或共线时取等号. 共线时即为下面的欧拉定理： (4)欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC＋AB·CD＝AC·BD. (5)托勒密定理的逆定理：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆. 以上定理及推论，均作为了解内容，供有兴趣的同学研究之用！ 了解了有关托勒密定理的相关知识，此题还可以借此真正实现秒杀，具体操作如下： 解题后反思：上面的等号是否能取到，即最大值能否取到，同学们可以画图检验下，由A、P、B、C四点共圆及∠ACB＝45°知∠APB＝135°，据此画出符合题意的图形即可，如图3－23所示，检验或验算是一种重要解题好习惯，盼同学们重视！ 下面再引进此题的一道变式问题，供大家研究之用，看看上面的各种解题思想方法是否仍适用！ 变式：如图3－24，已知P是正方形ABCD外的一点，对角线AC、BD相交于点O，且PA＝3，PB＝4，求PO的最大值. 例3及其变式中正方形其实本质就是等腰直角三角形，从这个角度分析，原题还可以有若干变式，譬如以AB为边作等边三角形或者正六边形等确定性的特殊图形，相应地最值问题都可以求解，“瓜豆原理”以及“旋转六法”都是处理此类最值问题的通解通法. |
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