产生这个悖论的关键是，人们在认同阿喀琉斯的无限追逐过程同时，却忽略了事情的另一方面：当这个追逐过程次数趋向无限时，每一过程所用时间却在趋向无限小，也就是零。无限个有限值相加，不论它多小，只要大于零，它的和当然就是无穷大。但是，无限个零相加却还是零，所以，无限个趋于零的数相加，它的结果需要计算，并不是人们直觉中的“无穷大”。 问题出在哪里呢？人们在说“无限次”的时候，下意识地假设了每一次追逐的用时总会有一个数，即使它很小，也会大于零。而没有意识到，这样的假设必与“无限次”是矛盾的，它们不可能同时成立。这里有语言的错觉，也有数学的错觉。或许这正是芝诺悖论的巧妙吧。 写这篇文字的时候，笔者特地到网上搜了一下，看见在一个知识问答网站中，居然有很多人以为芝诺悖论到现在仍未解决，其中还包括一位知名学者。他写过一篇文章，为人们普及了芝诺悖论的知识，但他的看法却是错的，特别是他的文章中，有一处要人注意的“这是接近”。笔者在这里反倒要特别强调：注意，这不是接近！0.999……不是接近1，而是准确等于1，如果你说是接近，那恰恰说明对“极限”的概念还不太懂。很多仍迷惑于芝诺悖论的人，其实多因为此。至于有些人喜欢往时空连续性上扯，那是取消问题，而不是解决问题。我们非固执于此，等于坚持认定世界上没有真正的圆，那有意义吗？ 再说一个故事，或许能将问题看得更清楚一些。传闻有一位朋友问数学家冯·诺依曼：一对年轻男女相对而行，有一条小狗和他们俩关系都很好，在他们相对而行的时候，它从一个人身边跑向另一人，然后再往回跑，这样一直反复，问这狗在两人相遇时，总共会跑多远？诺依曼想了几秒钟，给出了答案。那人马上说，你真是聪明，其实只要算出两人走的时间，再乘上狗的速度就行了。而诺伊曼却非常不配合，他说：“我计算的就是狗跑的距离，这是一个无穷级数！”这两种计算方式的结果当然是相同的。谁若是在这里强调时空连续性，或者那条狗的脖子的柔韧性问题，显然也是不恰当的。 芝诺之后的古希腊天才数学家欧多克索斯，利用与芝诺悖论相同的归谬法证明了圆面积与它的半径的平方成正比，这被认为是微积分思想的起源，而微积分计算正是众多现代科技文明——飞机、铁路、桥梁、电力等，之所以成为可能的基础。 （本栏长期征集“日知录”三字篆刻，投稿邮箱：rizhilu999@163.com） |
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