通过用直尺量或查阅资料，可以知道A4纸长210mm，宽297mm，297/210=1.414……其实，其他类型纸张的宽与长比值也接近这个数。A1至A5纸的长（单位：mm）分别是594、420、297、210、148，宽（单位：mm）分别是841、594、420、297、210，宽与长比值分别是1.416、1.414、1.414、1.414、1.419。从这些数据中，我们发现： （1）A1纸的长与A2纸的宽相等，A1纸的宽是A2纸长的两倍，也就是说A1纸的大小是A2纸的两倍。以此类推，其他相邻类型的两种纸张的长与宽都存在这种关系。 （2）宽与长的比值中，出现最多的数是1.414，其他几个比值也与1.414非常接近。 纸张为什么要做成这种类型的呢？因为宽与长的比为“2的算数平方根”（等于1.414……）时，把纸张对折，得到的新纸的宽与长之比仍为“2的算数平方根”，纸张的形状不变。但我们可以看到，纸张宽与长的比值不全都等于1.414，这是因为“2的算数平方根”是一个无限不循环小数，它不能写成两个整数之比。“2的算数平方根”是不可比数，也就是我们今天所说的无理数。 纸张宽与长的比值为“2的算数平方根”，保持了纸张形状的不变性，我们现在对这个数习以为常，但这个数曾导致它的发现者被害，并引发了第一次数学危机。 在“2的算数平方根”被发现以前，人们只知道有理数的存在。有理数的解释是由著名的毕达哥拉斯学派给出的。毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，事物的性质是由某种数量关系决定的，基于此，他们给出了有理数的一种简单几何解释：在一条直线上，取一条线段作为单位长，令它的左端点和右端点分别表示0和1，则整数就可用这条直线上单位长的整数倍来表示，正整数在0的右边，负整数在0的左边。以整数q为分母的分数，可以用把单位长q等分得到的线段的整数倍表示。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点，并认为直线上的点可以全部用有理数表示。 约公元前500年，毕达哥拉斯学派的门徒希伯斯发现：边长为1的正方形的对角线长不能用两个整数之比表示，即存在不可通约的线段。这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的理论基础，使学派的权威和统治地位受到威胁。毕达哥拉斯学派决定封杀希伯斯的发现，但希伯斯为了真理，将他的发现传播出去，最后被毕达哥拉斯学派扔进了地中海。 由无理数引发的数学危机持续了两千多年，直到1872年，德国数学家戴德金用有理数的“分割”来定义无理数，把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了第一次数学危机。 尽管无理数的发现引发了第一次数学危机，但无理数并非是无理的。无理数的英文是irrational number，从实质上来说是不可比数，只是我国数学家在翻译国外著作时将其翻译成了无理数而已。 （本栏长期征集“日知录”三字篆刻，投稿邮箱：rizhilu999@163.com） |
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