【原】【为什么说√2不是有理数】【山西中考试题】

山西中考试题

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山西中考试题

公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数√2，导致了第一次数学危机，√2是无理数的证明如下：　

假设√2是有理数，

那么它可以表示成(q/p)(p与q是互质的两个正整数)．

于是(q/p)²＝(√2)²＝2，

所以q²＝2p²．

于是q²是偶数，

进而q是偶数，

从而可设q＝2m，

所以(2m)²＝2p²，即p²＝2m²，

于是可得p也是偶数．

这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾．

从而可知“√2是有理数”的假设不成立，

所以√2是无理数．

这种证明“√2是无理数”的方法是( B )　

A.综合法   B.反证法　

C.举反例法   D.数学归纳法　

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数学史

      公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯( Pythagoras)学派有一种观点，即“万物皆数”。一切量都可以用整数或整数的比(分数)表示、后来，当这一学派中的希帕索斯( Hippasus)发现边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，即√2不是有理数时，毕达哥拉斯学派感到惊恐不安，他们无法承受自己的理论将被推翻，希帕索斯最终为宣传科学而献出了宝贵的生命。希帕索斯的发现对当时所有古希腊人的观念是一个极大的冲击，直接导致了历史上的“第一次数学危机”，促进了从有理数到实数的数系扩充，促进了数学的发展。

      事实上，无理数只是一种命名，并非“无理”，而是实际存在的不能写成分数形式的数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映。随着人们认识的不断深入，毕达哥拉斯学派逐渐承认√2不是有理数,并给出了证明。【如上题】

      在中国古代，很早就发现了无理数，而且有了对实数的系统认识。中国古代就有乘方运算，因此不可避免地会遇到开方问题，也就不可避免地遇到无理数。对于这种“开之不尽”，不能分数来表示的数，刘徽在《九章算术》中注释“求其微数”，即用十进制小数来无限逼近无理数。

      《几何原本》是我国最早译自拉丁文的数学著作，明朝科学家徐光启在翻译时没有现成的、可对照的词，许多译名都是从无到有创造出来的。徐光启将“raio(比)”译成了“理”，(即“理”就是比的意思。所以，“有理数”应理解为“可以写成两个整数之比的数”，不应理解为“有道理的数”；同样，“无理数”应理解为“不可以写成两个整数之比的数”，不应理解为“没有道理的数”。因此，也有人建议，把“有理数”和“无理数”改称为“比数”和“非比数”。

参考文献

【1】人教版数学七下教参

人民教育出版社

【2】人教版数学八下教参

人民教育出版社

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