一、0是自然数； 二、每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a’，a’也是自然数； 三、对于每个自然数b、c，b=c当且仅当b的后继数=c的后继数。 运用这几条皮亚诺公理我们可以定义，0的后继数是1，1的后继数是2，以此类推，我们可以将衡量数量多少的自然数用01234等符号表示出来。判断1和3是否相等：因为3是2的后继数，2是1的后继数，由公理三可得1≠3。关于加法，我们是通过数数的方式来定义的。比如1+1是指1的后继数，即1+1=2。2+3是指2的后继数的后继数的后继数，即2+3=5。 设想一下：假如有人给你3个苹果之后，你手上就有5个苹果。那么没给之前，你有多少苹果？因此我们引进减法，并且和自然数一起创造出了整数。那么，加法、减法、整数在生活中够用吗？夏天很热，你买了一个大西瓜，一个人吃不完，把它切成几块，一家人分着吃。这其中一小块西瓜怎么用数学表示？比例就派上用场了。任意两个整数之比构成了有理数。我们一边吃西瓜一边思考：半径大的西瓜周长也大，有没有什么关系在里面呢？半径可以测量，但是周长要怎么量？这里用割圆法求周长。在切割的过程中可以发现，切割得越细，测量结果越精确，并且结果越来越接近于某一个值。看过圆周率的人都知道，π是一个无限不循环小数。它无法用比例数来表示。也就是说，我们用已知的算法和数字，计算出了未知的东西！很神奇是不是？回过头来看，这种将圆形无限细分的过程叫做求极限。 为了感受一下无限是什么，我们来看一个经典的问题：整数比偶数多吗？ 举一个例子：有一筐蓝色的球和一筐红色的球，比较哪个筐中的球多。从两个筐分别拿出一个蓝球和一个红球，成对放在一边，第二步同上，如此循环……当其中一个筐的球先拿完的时候，假设另一个筐还有球，则还有球的筐球多；假设另一个筐也同时拿完了，那么一样多。 可以由这种方式来比较整数和偶数。我们将筐A装整数，筐B装偶数。现在从筐A中取出1，从筐B中取出2，接着从筐A中取出2，从筐B中取出4……以此类推。因为每一个整数都对应唯一一个偶数，所以，当A筐中所有的整数都取完的同时，B筐中所有的偶数也取完了。于是可以推出，整数和偶数是一样多的。这是不是与你的直觉不符呢？ 这些讨论，已经涉及集合（筐）、基数等概念——现代数学的大门，就这样为你打开了…… |
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