高中数学：变系数递推式的解法

与常系数递推式相比，变系数递推式的解法更为灵活。

一、一阶递推式

对于一阶递推式，虽然有公式求，但使用起来并不方便，不如用如下解法更好。

1. 猜想归纳法

例1. 数列前n项的和为，已知，写出，并求关于n的表达式。

解：时，，可得且，故可猜想。

以下不难用数学归纳法证之（略）。

2. 不动点法

若递推式存在不动点，则可借助不动点构造新数列求解。

例2. 已知，求。

解：令（不动点），原数列化为

从而。

3. 等价转换法

可考虑将变系数递推式转化为常系数递推式来解。

例3. 解递推式，其中。

解：令，则原数列化为

    ①

其中，①式的特征根为且①的特解为，代入①中得

，得，故①的通解为

，由得。

所以，

从而。

即。

例4. 解递推式

解：原式变为

      ①

令，则①化为

所以

二、二阶递推式

对于二阶递推式

   （1）

若满足下列情形，可用特殊方法解。

1. 降价法

当（1）可化为，其中，，可用递推法解。

例5. 设，对一切自然数n有，求所有能被11整除的值。

解：令原数列化为

令，原数列又化为，所以，所以

，由此得

，当时，因为能被11整除，故也能被11整除，所以所求答案为，和。

例6. 已知，求。

解：由

，原数列可化为

从而，所以。

例7. 已知。

解：由

，原数列可化为

。所以

，设，用累加法可得

。

所以

2. 化为常系数递推式

例8. 解递推式，求。

解：原数列即

，

可化为   ①

设，则①化为

或        ②

或令，则②又可化为，即，解得。

所以。

从而。

例9. 求方程的通项，。

解：原方程即为

令，则①又可化为

        ②

②的特征方程为，其特征根为

。

②的解为，又

从而，

所以

。

三、分式递推式

对于分式递推式，若，可用倒数法化为表示的数列来解。

例10. 已知满足

，求通项。

解：将原式两边取倒数化为

故为等比数列，首项是，公比是，所以，解得。

类似地对也可同法解之。

四、高考综合题分析

用上述所讲方法来考察高考中的综合题有关变系数递推式的解法是十分有益的，下面分析如下。

例11. 数列满足

，（I）用数学归纳法证明；（II）已知不等式对成立，证明：，其中…

分析：本题递推式属于，用数学归纳法可很方便地解决（I），而第（II）部份为利用题设中，需将放大（利用然后寻找对应数列的不动点来构造新数列便可计算出的上界。

解：（I）略。

（II）用数学归纳法易证，故。利用的不动点，可令，上述不等式可化为。

所以，从2到n求和可得

从而，即，故，显然，，从而有都成立。

例12. 已知数列满足，

（I）求数列的通项公式；

（II）若数列满足，证明是等差数列；

（III）证明

分析：本题第一部分用不动点法很方便，第二部分利用（I）结论得变系数递推式后可用阶差法、不动点法或猜想归纳法之一便可解之，第三部分应用放缩法可证之。

解：（I）由。

（II）解法1（阶差法），由已知得

所以  ①

又，②

得，

可得  ③

且，④

得

所以为等差数列。

解法2（不动点法）

解法1中③的不动点为，③可化为

由③令，得，所以，所以为常数数列，即为等差数列。

（III）首先

所以。

又求和可得

。

所以

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