2019高考100题之048(均值不等式1）

       分析：

       第一问需要用到一个很重要的结论：

a²+b²+c²≥ab+bc+ac.

       其中a,b,c∈R，当且仅当a=b=c时取到等号.

       只需要将下述三个不等式相加即可得到.

       a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac.

       所以由a+b+c=1，

       可得(a+b+c)²

      =a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac

      ≥3ab+3bc+3ac.

      所以ab+bc+ac≤1/3.

      人教B版4-5教材的习题有很多相关的习题题，大家可以练练:

       求证：

       (1)a+b+c≥√a+√b+√c.(其中a,b,c为正数)

       (2)x/y+y/z+z/x≥3.(其中x,y,z为正数)

       (3)a²+b²++c²+d²≥ab+bc+cd+da.

       (4)a²+b²+c²≥1/3.(其中a+b+c=1).

       (5)a⁴+b⁴+c⁴≥a²b²+b²c²+c²a²≥abc(a+b+c).

     (6)(b+c)x²/a+(c+a)y²/b+(a+b)z²/c≥2(xy+yz+xz).

       (其中a,b,c,x,y,z为正数)

       而上题第二问，其实也是类比第一问的证法：

       由a²/b+b≥2a，b²/c+c≥2b， c²/a+a≥2c.

      相加可得 a²/b+b²/c+c²/a≥a+b+c=1.