高中数学 | 用放缩法证明不等式的方法与技巧

所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。

下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。

一、“添舍”放缩

通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。

例1、设a，b为不相等的两正数，且a³－b³＝a²－b²，求证。

证明：由题设得a²＋ab＋b²＝a＋b，于是（a＋b）²＞a²＋ab＋b²＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜（a＋b）²，而（a＋b）²＝a＋b＋ab＜a＋b＋（a＋b）²，即（a＋b）²＜a＋b，所以a＋b＜，故有1＜a＋b＜。

 

例2、已知a、b、c不全为零，求证：

证明：因为，同理，。

所以

 

二、分式放缩

一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。

例3、已知a、b、c为三角形的三边，求证：。

证明：由于a、b、c为正数，所以，，，所以，又a，b，c为三角形的边，故b+c＞a，则为真分数，则，同理，，

故.

综合得。

 

三、裂项放缩

若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。

例4、已知n∈N*，求。

证明：因为，则

，证毕。

例5、已知且，求证：对所有正整数n都成立。

证明：因为，所以，

又，

所以，综合知结论成立。

四、公式放缩

利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。

例6、已知函数，证明：对于且都有。

证明：由题意知

_，又因为且，所以只须证，又因为

所以。

 

例7、已知，求证：当时。

证明：

证毕。

 

五、换元放缩

对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。

例8、已知，求证。

证明：因为，所以可设，，所以则，即。

 

例9、已知a，b，c为△ABC的三条边，且有，当且时，求证：。

证明：由于，可设a=csina，b=ccosa（a为锐角），因为，，则当时，，，

所以。

 

六、单调函数放缩

根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。

例10、已知a，b∈R，求证。

证明：构造函数，首先判断其单调性，设，因为，所以，所以在上是增函数，取，，显然满足，

所以，

即。证毕。