不等式（二）

不等式（二）

 

【典型例题】

[例1] 已知，且，试证

证：由

   

则即

又由

则

因此

法（1）充分利用已知条件

使要证不等式等价于

（2）比较法是证不等式的常用方法之一，本题还可用基本不等式法

 

[例2] 已知，则       。

答案：

证明：   得证。

 

[例3] 已知则          。

答案：

证明：

 

[例4] 若是不全相等的正数，求证：

证：由

则

又由为不全相等的正数，故有

则

即

 

[例5] 若为正数，求证：

证：由为正数，则

，

故

所以

 

[例6] 已知，求证：

证：原不等式

此式成立原不等式得证

 

[例7] 若，求证：

证：要证

即

由，上式

由题设条件，显然有成立，故原不等式成立

 

[例8] 已知且，求的最小值。   

解：

  

      

  

  

又由，则

故上式

当且仅当时，上式最小值为9

 

[例9] 已知，且，求的最小值。

解：

  

由

当时，最小值为

 

[例10] 求证：（）

证明：当时，由

则  

 

…

  

以上各式相加，得

 

[例12] 求证：

证：左²

         

即左

推广：一般地

证：左²

         

故

 

[例12] 设均为正数，求证：

证：由，i

左

   

 

 

[例13] 设，且，求证：

分析：原不等式，设辅助函数（）

即证（辅助函数法）

证明：设

由

又，则

即，同理

于是，，故

即

 

[例14] 已知，，且，求证：

证：由

所以是方程的两根，又，知此方程有两个大于的实根，故

解得

 

[例15] 已知（），求证：

证：构造函数，设

由

又，则

由已知，当时，则，利用开口向上的二次函数的图象性质可知的图象必与轴相交，因而

当时，由，则，利用开口向下二次函数性质，则

综上，

 

[例16] 设，且，，求证：中必有一个大于

证明：依题意中必有两负一正，不妨设

由条件

则为方程的两负实根

故

 

[例17] 已知，且，，求的范围

解：

令

由

即

  

【模拟试题】

1. 已知，则不等式和同时成立的充要条件是        。

2. 若，，则的取值范围是（    ）

    A.     B.     C.（1，4）   D.（）

3. 已知，且，，求的取值范围。

4. 若，，满足下列条件（    ）则

A.                           B.

C.                           D.

5. 若，则下列不等式成立的是（    ）

    A.     B.     C.     D.

6. 已知，，，则下列关系成立的是（    ）

    A.     B.     C.     D.

7. 以下命题，其中真命题个数是（    ）

① 若，，则

② 若，则

③ 若则

④ 若，则

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

8. 若为正数，求证：

9. 若是不全相等的正数，求证：

10. 数列由下列条件确定：，且，，证明：对，总有。

11. 已知，求证：。

12. 求证：。

13. 已知，求证：。

14. 设均为正数，求证：。

 

 

 

 

 

 

【试题答案】

1.

    解析：

2. D

解析：由

3. 解析：，由已知，有

，

错解：

 ①

 ②

由①+②得

4. D   

5. A

解析：利用指数图象 

6. B

解析：

7. C

8. 证：由为正数，则

   

故

所以

9. 证：由

则，

又由为不全相等的正数，故有

则

即

10. 分析：由，首先想要证明当时，有

证明：当时，由

则

11. 证：原不等式

而

（∵ ）

则原不等式

此式为已知，得证。

12. 证明：（1）当时，不等式显然成立

（2）当时，左

                   

（由）

13. 证法1：由，

而

（由）

故

所以原不等式成立

证法2：设

则

证法3：如图，设圆

直线：，，则点P到的距离

证法4：利用不等式

14. 证明：原不等式

（*）

为证（*）式，只要证：若为正数时，有，即可，事实上

从而（*）获证，故原不等式成立

证法2：（添项用均值不等式）

……

以上个不等式相加即得证。