2018高考数学100弹之第89弹：回归教材之不等式

一.不等关系与不等式、不等式的基本性质

       必修5以及选修4-5都对不等式的性质进行了详细的阐述，其中在不等式两侧同时乘以一个数，需要讨论该数的符号，这个道理我们都懂，但是动不动就会忽略；两个同向不等式相加，所得不等式和原不等式同向，我们容易在同向不等式相减上犯错误；两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式和原不等式同向，我们容易把两侧都是正数给忽略掉.

二.一元二次不等式

       一元二次不等式紧紧围绕二次函数图象做文章，两个关键因素是开口和判别式.

       教材上也顺带提了简单的分式不等式(转化为整式不等式)以及高次不等式(通过描点画大致图象)的解法，不是高考的重点，但是简单的问题得会解决.

       课后习题涉及到了二次方程根的分布问题，这是个重点知识，通过二次函数的特征怎么避开无理不等式，是我们必须掌握的，但是不要死记硬背，一定要具体问题通过画图来分析.

三.均值不等式

       两个正数的乘积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的乘积有最大值.这两个规律的的关键词“正数”、“常数”以及一个隐藏的关键“取到最值的条件”，是解决这类问题的关键.

  上述第一个问题和函数y=ax+b/x(a,b>0)有关，第二个问题和二次函数y=(a-x)x有关，第一个函数如果在大题中遇到，当x有限制条件没法直接利用均值不等式的时候，不可以直接画图象，必须求导.

       选修4-5中介绍了三次及以上次数的均值不等式，这个在高考中不作要求.

       三个均值不等式相加得到一个常用的结论：

a²+b²+c²≥ab+bc+ac

       该不等式很重要，当然不可以在大题上直接使用，需要证明，有时候一道题会把a,b,c换成别的复杂的量，不太容易发现.

四.线性规划

       你会证明二元一次不等式Ax+By+C>0所表示的点构成的区域在直线Ax+By+C=0的一侧吗？教材在探索与研究中给了证明，用的是法向量的方法，我觉得有点麻烦了，如果Ax+By+C=0有斜率，将其化成y=kx+b的形式，然后研究y>kx+b以及y

       判断Ax+By+C>0在直线AX+By+C=0的哪一侧，有很多方法，大家都有自己的一套，但是不管哪一套，都要谨慎，千万不要糊涂了以为Ax+By+C>0一定是直线的上方区域.

       教材的的思考与讨论探索了一个我们常犯错误的问题，这个我在线性规划学习中易犯的四个错误作了详细的说明.

五.绝对值不等式

       针对求|x-a|+|x-b|的最小值，教材了给了构造函数分类讨论法、几何意义法、绝对值的三角不等式法，这些方法都得掌握，对于不同问题可以作不同的选择，当然最重要的方法还是构造函数分类讨论，不管是哪个方法，同其它不等式求最值一样，取等条件必须说清楚.

六.有必要做做的题.

1.已知1

2.设a是三个正数a,b,c中最大的数，且a/b=c/d，试比较a+d与b+c的大小.

3.已知二次函数f(x)的图象过原点，且-1≤f(-1)≤2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范围.

4.关于x的方程2x²+7mx+5m²+1=0的两个实根中，一个大于2，一个小于2，求实数m的取值范围.

5.如果关于x的不等式ax²+bx+c<0的解集是{x|xn}(mx²-bx+a>0的解集.

6.设函数f(x)=lg[(m²-3m+2)x²+2(m-1)x+5].

(1)如果f(x)定义域为R，求实数m的取值范围；

(2)如果f(x)的值域为R，求实数m的取值范围.

7.(1)求函数f(x)=(x²+2)/√(x²+1)的最小值以及相应的x的值；

(2)求函数f(x)=(x²+3)/√(x²+2)的最小值以及相应的x的值.

8.已知a,b,c为实数，a+b+c=1，求证：a²+b²+c²≥1.

9.已知a,b,c为互不相等的正数，求证：

a⁴+b⁴+c⁴>a²b²+b²c²+a²c²>abc(a+b+c).