2019高考100题之027(椭圆5)

       分析：

       这是圆锥曲线中经常考查的一类题，特别的老。

       一般的结论是，该题中的P₂可以换成曲线上任意一点，P₂A和P₂B的斜率之和也可以换成斜率之积，定值-1可以换成别的非零常数。

       当然为了解题的方便，一般都把P₂放在顶点处，上述的一般结论我就不证明了。

       该题的做法如下：

       针对这道题我们想说的是怎么在大题中投机取巧。

       如果一开始我们就能找到这个定点，那么在后续的写法中我们是不是可以装模作样的写几句，大不了能扣一点分，甚至你伪装的非常逼真的话，有可能一分也不扣，这在考场时间那么宝贵的情况下，是非常划算的。

       现在看看怎么快速找到(2,-1)，这个需要对导数定义、切线知识有深刻的认识，所以我说过，考场上的投机取巧都是对学霸来说的，学渣如果想投机取巧，只能带骰子进考场。

       我们知道曲线的切线是割线的极限位置，具体的说，曲线上一点A无限靠近一点P时，割线AP的极限位置就是曲线在点P处的切线。这件事我们在学习导数的时候已经很清楚了，虽然我们很多导数都不会求，但是最起码这个几何背景我们应该是可以理解的。

       对于上题，我们可以令P₂A和P₂B的斜率为特殊值，比如P₂A的斜率为0，P₂B的斜率为-1。P₂A的斜率为0时，也就是A点和P₂重合了，此时AB的方程为y=-x+1，有同学可能会问了，题干不是说A,B不和P₂重合吗，那我们就不重合，无限靠近可不可以？也就是AB的方程无限靠近y=-x+1可以吧？如下图所示：

       还可以令P₂A和P₂B的斜率相等，都为-1/2，此时A，B两点重合，都是右顶点，那么AB方程就为x=2，如下图：

       而直线y=-x+1和直线x=2的交点为(2,-1)，所以我们可以断定，该题的定点一定为(2,-1)，当然这件事只能天知草稿纸知，还有你知我知，千万不能让阅卷老师知。

       然后我们在该题的解答过程中，直线y=kx+m和椭圆联立后，然后设点，写出两个斜率之和为-1（不用化简），我们心里能确定的是肯定能化简得到m=-2k-1，然后我们只要装模作样写出“韦达定理代入，化简得，m=-2k-1”，所以直线y=kx+m过(2,-1），这样写能扣多少分呢？我觉得阅卷老师一个不留神就会给12分。

       可能有的同学觉得自己化简两个斜率之和为-1，然后韦达定理代入一点问题也没有，那就请你尽情鄙视上面的做法，然后无视它。

       如果你担心自己化简不准，或者想节约时间去做导数，那么多思考解析几何中的临界状态，然后得到结果，然后假装是自己推导出来的，我个人觉得这不是人品问题。

       当然，这类题可遇不可求，解析几何大题，还是要老老实实推导，提高自己的计算能力才是王道。