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高中数学，解析几何，圆锥曲线，直线与抛物线相交练习，会用两种方法的都是高手。题目内容：设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1, 0)，直线L与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点坐标为(2, 2)，求直线L的方程。考查知识：1、直线与抛物线相交问题中设而不求的应用；2、抛物线弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系。  直线L过点(2,2)，要求其方程，只需求出它的斜率即可，则只需根据题意列一个只含有未知数k的等式；题中给出了AB的中点坐标，可以联想到韦达定理中的两根之和，所以最容易考虑到的解法如下：设出L的方程，与抛物线方程联立方程组，如①式和②式，然后消掉x可以得到③式；注：此处消掉x还是消掉y要根据实际情况，对于本题，线段AB的中点坐标为(2,2)，则x1﹢x2＝4，y1﹢y2＝4，则消掉x或者消掉y都可以求解，但是①式中y的表达式比较复杂，如果消掉y，需要对y的式子进行平方，明显计算比较繁琐，所以考虑变形②式消掉x，理解这一点有助于咱们大大简化运算；然后就是借助方程根与系数之间的关系列等式，求出k值即可；这就是设而不求在直线与圆锥曲线相交问题中的典型应用。  方法二：本题给出了抛物线弦的中点的横纵坐标，要求的是弦所在直线的斜率，所以也可以考虑使用圆锥曲线弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系来求解，具体使用方法如下，这也是圆锥曲线方程的一个重要特点。
后记：因为直线L与抛物线有两个交点A和B，所以不管是第一种方法还是第二种方法，都应该判断或者检验这一点；本解析之所以没有进行这一步，是因为，直线L过点(2,2)，而这一点处在抛物线上下两支的中间，则L与抛物线肯定有两个交点；而在大多数题型中，都需要事先借助使用判别式△＞0来保证其满足直线与图形有两个交点，在以后的课程中会安排大量的这类题型。 高中、高考、基础、提高、真题讲解，专题解析；孙老师数学，全力辅助你成为数学解题高手。 |
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