导数为什么可以求极值？

连续函数上某点的导数就是过该点该函数切线的斜率。当导数为零时，切线就是一条水平线。这条切线在切点附近的邻域内，会将邻域内除切点外函数上的点分为上下两部分，有三种情况：

* 这些点都在水平切线上，这时切点就是 极小点；

* 这些点都在水平切线下，这时切点就是 极大点；

* 这些点在水平切线上下都有，则切点不是极值点；

举例说明：

上图中，绿色曲线为 y = x² 1，它的导数曲线（红色）为 y' = 2x。在 (0, 1) 点绿色曲线的导数为零，于是过该切线 i 是一条水平线。 (0, 1) 点附近除了(0, 1)点外，绿色曲线上的点都在 i 之上，于是 (0, 1) 就是极小值。这就是第一种情况。

上图中，绿色曲线为 y = -x² 1，它的导数曲线（红色）为 y' = -2x，在 (0, 1) 点绿色曲线的导数为零，于是过该点的切线 i 是一条水平线。 (0, 1) 点附近除了(0, 1)点外，绿色曲线上的点都在 i 之下，于是 (0, 1) 就是极大值。这就是第二种情况。

上图中，蓝色曲线为 y = x³ 1，它的导数曲线（橙色）为 y' = 3x²，在 (0, 1) 点蓝色曲线的导数为零，于是过该点的切线 i 是一条水平线。 (0, 1) 点附近除了(0, 1)点外，蓝色曲线上的点分置于 i 之上下，可见 (0, 1) 不是极值点。这就是第三种情况。

上图中，蓝色曲线为 y = -x³ 1，它的导数曲线（橙色）为 y' = -3x²，在 (0, 1) 点蓝色曲线的导数为零，于是过该点的切线 i 是一条水平线。 (0, 1) 点附近除了(0, 1)点外，蓝色曲线上的点分置于 i 之上下，可见 (0, 1) 不是极值点。这也是第三种情况。

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接下来就是如何判断三种情况的那种。观察上面四幅图，可以发现：

• 第一种情况，函数的导数曲线在 切点的附近邻域内 单调递增，如 y = 2x；
  

• 第二种情况，函数的导数曲线在 切点的附近邻域内 单调递减，如 y = -2x ;

• 第三种情况，函数的导数曲线在 切点的附近邻域内 不单调。

于是我们可以根据导函数的在切点附近的单调性来判断导数为零的切点是否是极值点，是什么极值点。

而我们知道：

• 单调递增函数的导数值恒大等于于零；

• 单调递减函数的导数值恒小于等于零；

于是我们只要对曲线的导函数再次求导（即，求二阶导数），看二阶导数在导数为零的切点附近的值是否均大于等于或小于等于零，就可以判断的导函数的单调性，从而判断切点的极值性。例如：

图1中，导函数是 y' = 2x，再求导 y'' = 2 > 0 , 于是 y' = 2x 单调递增，进而 (0, 1) 点是极小值；

图2中，导函数是 y' = -2x，再求导 y'' = -2 < 0 , 于是 y' = -2x 单调递减，进而 (0, 1) 点是极大值；

图3中，导函数是 y' = 3x²，再求导 y'' = 6x >=< 0，于是 y' = -2x 单调递减不单调，进而 (0, 1) 点不是极值点； 图4和图2类似。