导数综合

导数综合

 

二. 内容讲解

由于导数为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性的方法，所以利用导数方法研究函数的性质及解决实际问题成为高考的热点之一，这部分的具体要求是：

1. 理解导数概念及其几何意义；掌握（）的公式；会求多项式函数的导数。

2. 会用导数求曲线的切线方程；理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间，极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。

 

【典型例题】

[例1] 设在点处可导，为常数，则等于（    ）

A.      B.     C.      D. 0

解：

    =

    =

    ==   故应选（B）

注：本题旨在巩固对函数在某一点处的导数的定义的理解与掌握。

 

[例2] 已知点为曲线上的一点，曲线在A点处的切线方程为，曲线斜率为1的切线有几条？它们之间的距离是多少？

解：由，则，由切线斜率为1，则，即此时，令，解得或，故已知曲线斜率为1的切线有两条。

由A点在曲线上，则，过点A的切线方程为，即，故。当时，，故相应的点为，切线方程为：，即。

故两直线间的距离为：=

 

[例3] 设抛物线C₁：与抛物线：在它们一个交点处的切线互相垂直。

    （1）求a ，b 之间的关系；

（2）若，，求的最大值。

解：（1）对C­₁：；对C₂：，设曲线C₁与C₂的一个交点为，由两曲线在交点处的切线互相垂直，则，即① ，又（在两曲线上，故有：

，

则

即②

由①、②可消去，可得

（2）由，且，则

当且仅当时，等号成立，即当且仅当时，的最大值为。

 

[例4] 已知抛物线C₁：和C₂：，如果直线同时是C₁和C₂的切线，称是C_1­和C_2­的公切线，公切线上两个切点之间的线段称为公切线段。

（1）取什么值时，C₁和C₂有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；

（2）若C₁和C₂有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。

（1）解：函数的导数为，曲线C₁在点P（）的切线方程为：

即①

函数的导数为，曲线C₂在点Q（）的切线方程为

即②

如果直线是过P和Q的公切线，则①和②式都是的方程，所以

消去，得方程

令得，解得

此时点P与Q重合，即当时，C₁与C₂有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为。

（2）证明：由（1）知，当时，C₁和C₂有两条公切线，设一条公切线上切点为P₁（），Q（），其中点P在曲线C_1­上，点Q在曲线C­₂上，则由

故线段PQ中点为（），同理，另一条公切线的中点坐标也是（）得证。

 

[例5] 已知函数，其中，为参数，且

（1）当时，判断是否有极值；

（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；

（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间（）内都是增函数，求实数的取值范围。

解：

（1）当时，，则函数在（）上是增函数，故无极值。

（2），令，得

由及（1），只考虑的情况

当变化时，的符号及的变化情况如下表：

		0
	+	0	－	0	+
		极大值		极小值

因此，函数在处取得极小值

，且

要使，必有

可得，所以

（3） 由（2）知，函数在区间（）与（）内都是增函数，由题设，函数在（）内是增函数，则须满足不等式组或

由（2），参数，，要使不等式关于恒成立，必有

综上，解得或，所以的取值范围是

注：本题为2006高考文科试题，主要考查运用导数研究函数的单调性及极值，解不等式等基本知识，考查综合分析和解决问题的能力。

 

【模拟试题】

1. 抛物线在点P（）处的切线的倾斜角是（    ）

A. arctan2             B. arctan（－2）          C. arctan           D.

2. 与直线平行的切线的切线方程是（     ）

A.                           B.         

C.                             D. 或

3. 某物体运动规律是，则在t=        时的瞬时速度为0。

4. 已知，若，则x=         。

5. 平行于直线且与曲线相切的直线方程是   

                。

  6. 垂直于直线且与曲线相切的直线方程是         

               。

7. 已知A、B是抛物线上横作标分别为的两点，求抛物线的平行于割线AB的切线方程                   。

8. 若抛物线的切线与直线的夹角为，求切点坐标。

 

 

 

【试题答案】

1. D           2. D        3. 2         4. 0或2        

5. 或

6.

7.

8. （）或（）