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导数综合

2012-06-01  寒拾柒
导数综合

 

. 内容讲解

由于导数为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性的方法,所以利用导数方法研究函数的性质及解决实际问题成为高考的热点之一,这部分的具体要求是:

1. 理解导数概念及其几何意义;掌握导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)的公式;会求多项式函数的导数。

2. 会用导数求曲线的切线方程;理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间,极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。

 

【典型例题】

[1] 导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运在点导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运处可导,导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运为常数,则导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运等于(   

A. 导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运     B. 导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运    C. 导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运     D. 0

解: 导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

    =导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

    =导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

    =导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运=导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运   故应选(B

注:本题旨在巩固对函数在某一点处的导数的定义的理解与掌握。

 

[2] 已知点导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运为曲线导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运上的一点,曲线在A点处的切线方程为导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,曲线斜率为1的切线有几条?它们之间的距离是多少?

解:导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,则导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,由切线斜率为1,则导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,即导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运此时导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,令导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,解得导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,故已知曲线斜率为1的切线有两条。

A点在曲线上,则导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,过点A的切线方程为导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,即导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,故导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运。当导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运时,导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,故相应的点为导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,切线方程为:导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,即导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

故两直线间的距离为:导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运=导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

 

[3] 设抛物线C1导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运与抛物线导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运在它们一个交点处的切线互相垂直。

    1)求a b 之间的关系;

2)若导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,求导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的最大值。

解:1)对1导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运;对C2导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,设曲线C1C2的一个交点为导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,由两曲线在交点处的切线互相垂直,则导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,即导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运① ,又(导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运在两曲线上,故有:

导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

由①、②可消去导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,可得导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

2)由导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,且导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,则导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

当且仅当导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运时,等号成立,即当且仅当导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运时,导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的最大值为导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

 

[4] 已知抛物线C1导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运C2导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,如果直线导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运同时是C1C2的切线,称导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运CC的公切线,公切线上两个切点之间的线段称为公切线段。

1导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运取什么值时,C1C2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程;

2)若C1C2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分。

1解:函数导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的导数为导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,曲线C1在点P导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)的切线方程为:导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

函数导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的导数为导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,曲线C2在点Q导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)的切线方程为

导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

如果直线导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运是过PQ的公切线,则①和②式都是导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的方程,所以导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

消去导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,得方程导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,解得导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

此时点PQ重合,即当导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运时,C1C2有且仅有一条公切线,由①得公切线方程为导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

2证明:由(1)知,当导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运时,C1C2有两条公切线,设一条公切线上切点为P1导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运),Q导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运),其中点P在曲线C上,点Q在曲线2上,则由导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

故线段PQ中点为(导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运),同理,另一条公切线导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的中点坐标也是(导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)得证。

 

[5] 已知函数导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,其中导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运为参数,且导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

1)当导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运时,判断导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运是否有极值;

2)要使函数导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的极小值大于零,求参数导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的取值范围;

3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,函数导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运在区间(导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)内都是增函数,求实数导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的取值范围。

解:

1)当导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运时,导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,则函数导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运在(导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)上是增函数,故无极值。

2导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,令导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,得导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运及(1),只考虑导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的情况

导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运变化时,导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的符号及导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的变化情况如下表:

导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

0

导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

+

0

0

+

导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

极大值

导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

极小值

导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

因此,函数导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运处取得极小值

导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,且导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

要使导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,必有导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

可得导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,所以导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

3 由(2)知,函数导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运在区间(导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)与(导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)内都是增函数,由题设,函数导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运在(导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)内是增函数,则导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运须满足不等式组导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

由(2),参数导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,要使不等式导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运关于导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运恒成立,必有导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

综上,解得导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,所以导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的取值范围是导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

注:本题为2006高考文科试题,主要考查运用导数研究函数的单调性及极值,解不等式等基本知识,考查综合分析和解决问题的能力。

 

【模拟试题】

1. 抛物线导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运在点P导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)处的切线的倾斜角是(   

A. arctan2             B. arctan(-2          C. arctan导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运           D. 导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

2. 与直线导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运平行的切线导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的切线方程是(    

A. 导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运                          B. 导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运        

C. 导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运                            D. 导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

3. 某物体运动规律是导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,则在t=        时的瞬时速度为0

4. 已知导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,若导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,则x=        

5. 平行于直线导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运且与曲线导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运相切的直线方程是   

               

  6. 垂直于直线导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运且与曲线导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运相切的直线方程是         

              

7. 已知AB是抛物线导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运上横作标分别为导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的两点,求抛物线的平行于割线AB的切线方程                  

8. 若抛物线导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的切线与直线导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的夹角为导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,求切点坐标。

 

 

 

导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运


【试题答案】

1. D           2. D        3. 2         4. 02        

5. 导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

6. 导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

7. 导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

8. 导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)或(导数综合 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

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