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第11招：借点搭桥 - 公切线问题 
某点处切线的几何意义是该点处切线的斜率,一般情况下我们经常研究一条曲线和一条(或多条)切线。现在我们提出问题:多条曲线能否共一条切线? 定义:同时和曲线 、 都相切的直线称为两曲线的公共切线. 公切线通过切点搭桥过渡,建立方程(组),解方程(组),问题转化得解。 
1.基础切线问题a,在点 处的切线方程为 . 2.基础切线问题b,求过点的曲线的切线方程的步骤为: 第一步:设出切点坐标 ; 第二步:写出过的切线方程为 ; 第三步:将点 的坐标代入切线方程,求出; 第四步:将的值代入方程可得过点的切线方程. 说明:可能是切点,也可能不是切点,这种做法不需要讨论是否为切点.为什么不需要讨论?原因是没有出现分母为的可能。 3.切点相同(公共点处)的公切线 设直线与曲线和与曲线均切于同一点。记为和,于是,且.解出及相关的参数,从而可得切线方程. 4.切点不同(公共点处)的公切线 设直线与曲线切于与曲线切于, 则切线方程为,即, 同理. 因为两条切线重合,所以,且. 解出,,从而可得切线方程.由此可知两曲线公切线的条数即为上述方程组解的个数. 5.特殊曲线的切线的处理方法:与圆、椭圆、双曲线、抛物线相切可用代数法.与圆相切优先用圆心到直线的距离。与抛物线相切优先用导数法,即通过求导数得到斜率。事实上只要能转化为函数的,都可以通过求导数得到切线斜率。
(2019·高考II卷·20)已知函数. (1)讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点; (2)设是的一个零点,证明曲线在点处的切线也是曲线的切线. 【答案】(1)见解析;(2)见解析 【解析】(1)函数的定义域为, ,因为函数的定义域为, 所以,因此函数在和上是单调增函数(注意不能取并集); 当时,,, 因为,所以函数在必有一零点,记为, 而函数在上是单调递增,故当时,函数有唯一的零点. 于是,,故在有唯一零点. 另法:当时,,,而. 函数在上单调递增,故当时,函数有唯一的零点. 综上所述,函数的定义域内有个零点; (2)证明:因为是的一个零点, 所以,, 所以曲线在处的切线的斜率为. 因为,所以点在曲线上. 故直线的斜率. 又曲线在点处切线的斜率是,曲线在点处切线的斜率也是,所以曲线在点处的切线也是曲线的切线. 1.(2020届山东省潍坊市高三上期末)已知函数,. (1)讨论函数的单调性; (2)当时,若曲线:与曲线:存在唯一的公切线,求实数的值. 2.已知函数,曲线在点处的切线平行于直线. (i)求函数的单调区间; (ii)设直线为函数图象上任意一点处的切线,问:在区间上是否存在,使得直线与曲线也相切?若存在,满足条件的有几个?
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