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高考数学，导数极小值压轴题，明知这么考为何还中招。题目内容：设f(x)＝xlnx＋2ax^2－(4a＋1)x，a∈R；⑴令g(x)＝f^'(x)，求g(x)的单调区间；⑵已知f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围。考查知识：借助导数分类讨论函数的单调性；理解函数极小值包含的两层含义。  第（1）问，求函数g(x)的单调区间，首先要求导函数，如下。  求出了导函数，下一步解方程g´(x)＝0，即4ax＋1＝0，这是一个一次方程，因为未知数x的系数含有字母a，故当a＝0时无解，a≠0时有1解，所以通常要分这两种情况进行讨论；因为导函数g´(x)表达式中的分母x大于0，所以它的符号只与分子有关，分子部分是一个一次函数，其自变量x的系数4a的符号决定着一次函数的增减性，一次函数的增减性决定着分子部分在方程解的两侧的符号；也就是说a＞0和a＜0时，函数g(x)的单调性不同，故要分三种情况进行讨论：a＞0、a＝0和a＜0；由于a＞0和a＝0时g(x)单调性相同，故可以合并成一种情况。  第（2）问分析。x＝1是函数f(x)的极小值点，需要满足两个条件：第一，f´(1)必须等于0，如下第一行验证通过；第二，在1的左侧f´(x) ＜0，右侧f´(x)＞0，即在1的左侧g(x)＜0，右侧g(x)＞0；因为g(1)＝f´(1)＝0，则只需1处于g(x)的单调递增区间即可满足第二个条件。根据以上分析列出如下过程。  总结：不论是平时测验还是学期考试，包括高考，极小值和极大值的两层含义考查的概率很大，咱们务必要彻底地理解。 高中、高考、基础、提高、真题讲解，专题解析；孙老师数学，全力辅助你成为数学解题高手。如果你觉得孙老师讲的不错，支持孙老师做出更多更精致的课程，请点一下“关注”，然后把本课程转发给你的好友，加油！ |
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