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【题目】 （2018·江西）在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为 ． 【答案】2或2√3或√14﹣√2． 【解析】 解：∵四边形ABCD是正方形，AB=6， ∴AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD， AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=∠DAB=90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得： AC=√(AB²+BC² )=√(6²+6²)=6√2， ∴OA=OB=OC=OD=3√2， 有三种情况： ①点P在AD上时， ∵AD=6，PD=2AP， ∴AP=2； ②点P在AC上时， 设AP=x，则DP=2x， 在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP²=DO²+OP²， （2x）²=（3√2）²+（3√2﹣x）²， 解得：x=√14﹣√2（负数舍去）， 即AP=√14﹣√2； ③点P在AB上时， 设AP=y，则DP=2y， 在Rt△APD中，由勾股定理得：AP²+AD²=DP²， y²+6²=（2y）²， 解得：y=2√3（负数舍去）， 即AP=2√3； 拓展： 由于PD=2AP，所以在DA的延长线上取一点E， 使得AE=1/2²·DE=1/4DE， 即AE=1/3AD， 因为AD=6，所以AE=2， 则点P的运动轨迹为以点E为圆心,r=1/2DE=4为半径的圆。 为什么呢？ 因为EP/DE=AE/EP=1/2，且∠PEA=∠DEP， 所以△PEA∽△DEP， 得AP/PD=EP/DE=1/2。 因此，无论如何，⊙E上面的任意一点，都满足PD=2AP。 易得该圆与正方形的边及对角线交于3个点，易得AP的长。 阿氏圆 阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k（k≠1）的点P的轨迹是一个以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。 如图，若PB=kPA（k＞1），如何确定点P的位置呢？ 在BA的延长线上面取一点C，使得AC=1/k²·BC， 即AC=1/(k²-1）·AB，BC=k²/(k²-1）·AB， 以点C为圆心，r=k·AC=k/ (k²-1）·AB为半径作圆， 则点P的轨迹为⊙C。 因为PC/AC=（k/ (k²-1）·AB）/（1/(k²-1）·AB）=k BC/PC=（k²/(k²-1）·AB）/（1/(k²-1）·AB）=k， 且∠PCA=∠BCP， 所以△PCA∽△BCP， 所以PB/PA=PC/AC=k。 例如，AB=6，k=2时，AC=2， 以点C为圆心、r=4为半径画圆即可。 PC/AC=4/2=2， BC/PC=8/4=2， 所以PB/PA=2。 阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，约公元前262～190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名。阿波罗尼奥斯常和欧几里得、阿基米德合称为亚历山大时期的“数学三杰”。他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地。 |
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