一道阿氏圆的中考题

【题目】

（2018·江西）在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为                    ．

【答案】2或2√3或√14﹣√2．

【解析】

解：∵四边形ABCD是正方形，AB=6，

∴AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，

AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=∠DAB=90°，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：

AC=√(AB²+BC² )=√(6²+6²)=6√2，

∴OA=OB=OC=OD=3√2，

有三种情况：

①点P在AD上时，

∵AD=6，PD=2AP，

∴AP=2；

②点P在AC上时，

设AP=x，则DP=2x，

在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP²=DO²+OP²，

（2x）²=（3√2）²+（3√2﹣x）²，

解得：x=√14﹣√2（负数舍去），

即AP=√14﹣√2；

③点P在AB上时，

设AP=y，则DP=2y，

在Rt△APD中，由勾股定理得：AP²+AD²=DP²，

y²+6²=（2y）²，

解得：y=2√3（负数舍去），

即AP=2√3；

拓展：

由于PD=2AP，所以在DA的延长线上取一点E，

使得AE=1/2²·DE=1/4DE，

即AE=1/3AD，

因为AD=6，所以AE=2，

则点P的运动轨迹为以点E为圆心,r=1/2DE=4为半径的圆。

为什么呢？

因为EP/DE=AE/EP=1/2，且∠PEA=∠DEP，

所以△PEA∽△DEP，

得AP/PD=EP/DE=1/2。

因此，无论如何，⊙E上面的任意一点，都满足PD=2AP。

易得该圆与正方形的边及对角线交于3个点，易得AP的长。

阿氏圆

阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k（k≠1）的点P的轨迹是一个以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。

如图，若PB=kPA（k＞1），如何确定点P的位置呢？

在BA的延长线上面取一点C，使得AC=1/k²·BC，

即AC=1/(k²-1）·AB，BC=k²/(k²-1）·AB，

以点C为圆心，r=k·AC=k/ (k²-1）·AB为半径作圆，

则点P的轨迹为⊙C。

因为PC/AC=（k/ (k²-1）·AB）/（1/(k²-1）·AB）=k

BC/PC=（k²/(k²-1）·AB）/（1/(k²-1）·AB）=k，

且∠PCA=∠BCP，

所以△PCA∽△BCP，

所以PB/PA=PC/AC=k。

例如，AB=6，k=2时，AC=2，

以点C为圆心、r=4为半径画圆即可。

PC/AC=4/2=2，

BC/PC=8/4=2，

所以PB/PA=2。

阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，约公元前262～190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名。阿波罗尼奥斯常和欧几里得、阿基米德合称为亚历山大时期的“数学三杰”。他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地。