2019年中考数学总复习：压轴题中的费马点问题

一、费马点的由来

费马(Pierre de Fermat，1601—1665)是法国数学家、物理学家．费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余爱好． 然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌．他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承17世纪数论天地的人． 一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家． 尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年．费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在△ABC内求一点P，使 PA+PB+PC之值为最小，人们称这个点为“费马点”．

二、探索费马点

1． 当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，则费马点就是这个内角的顶点．

下面来验证这个结论： 如图1，对三角形内任意一点P，延长BA至点C′，使得AC′=AC， 作∠C′AP′=∠CAP，并且使得AP′=AP． 即把△APC以A为中心做旋转变换． 则△APC≌△AP′C′，

∵∠BAC≥120°，∴∠PAP′≤60°． ∴在等腰三角形PAP′中，AP≥PP′，

∴PA+PB+PC≥PP′+PB+ P′C′>BC′=AB+AC． 所以A是费马点．

2． 如果三个内角都在120°以内，那么，费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为 120°的点．

如图2，以B点为中心，将△APB旋转60°到△A′BP′． 因为旋转60°，且PB=P′B，所以△P′PB为正三角形． 因此，PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC．

由此可知当A′，P′，P，C四点共线时，PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC为最小．

当A′，P′，P共线时，∵∠BP′P=60°，∴∠A′P′B=∠APB=120°． 同理，若P′，P，C共线时，则∵∠BPP′=60°， ∴∠BPC=120°．

所以点P为满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点．

二、费马点相关问题

等腰直角三角形,已知在直角平分线上的一点P,PA+PB+PC最小值为√6+√2，求直角边的长度？

解答：如图

将三角形PAC逆时针旋转60度得三角形DEC，则角PCD=60度，三角形PCD是正三角形，PC=PD且DE=PA，所以PA+PB+PC=DE+PD+PB，根据两点之间线段最短，当点E、D、P、B在一条直线上时，DE+PD+PB最小，这时∠BPC=120°，∠APC=∠EDC=120°

下证这时的点P就在角ACB的平分线上。

在三角形DCE和PCB中，因CE=CA=CB得角E=角PBC，又有∠EDC=∠BPC=120°，

得三角形CDE、CPA、CBP全等，∠ECD=∠ACP=∠BCP，点P在∠ACB的平分线上。

所以点P是这样一个点：它使∠APC=∠BPC=∠APB=120度（这个点叫三角形的费马点）。

延长CP交AB于F，则CF垂直AB，且由三角形CPA、CBP全等知PA=PB，得角FPA=60度，

设PF=x，则PA=PB=2x ，AF=CF=√3*x，PC=(√3-1)x，有 2x+2x+(√3-1)x=√6+√2，x=1/3√6。所以 AF=CF=√2，AC=√2*CF=√2*√2=2。

三、费马点与中考试题