  1.什么是费马点： 2.费马点的历史背景： 费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利(气压计的发明者)的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。 例题学习 如图，在Rt△ABC中，AB=4, AC=8, 点P是△ABC内一点，则PA+PB+PC的最小值为______ 如图，在正方形ABCD中，点P为正方形内部一点，求点P到A、B、C三个顶点距离的最小值。 如图，在△ABC中，AB=AC,点P是△ABC内一点，∠APB=∠BAC=120°，若AP+BP=4,则PC的最小值。(注意不要思维定式哦，认真思考吧) 上面四道例题，请自己先独立思考，在以前学习知识的基础上，用旧知识解决。通过前面的导语，你知道什么是费马点了吗？在上面的例题中，我们都用到了旋转的思想，数学中的四大变换是我们解决中学几何问题的重要方法，充分理解使用的前提条件是什么？遇到什么样的问题，可以考虑旋转？ 本问题的解决我们用到了之前讲给的“手拉手模型”，如果还不是很明白，请打开视频观看学习。 （说明：本视频是我2019年春节期间录制，内容详细，容易理解）  【跟踪练习】
2.（1）如图1，点P是等边△ABC内一点，已知PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数。 （2）如图2，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点P是△ABC内一点，PA=1,PB=2,PC=3,求∠APB的度数。 （3）如图，△ABC中，∠ABC=30°，AB=4,BC=5,点P是△ABC内任意一点，连接PA,PB,PC，则PA+PB+PC的最小值为___________
3．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P为△ABC内一点．
（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D，A，E，连接CE． ①依题意，请在图2中补全图形； ②如果BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，求CE的长． （2）如图3，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值． 小慧的作法是：以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，那么就将PA+PB+PC的值转化为CP+PM+MN的值，连接CN，当点P落在CN上时，此题可解． 请你参考小慧的思路，在图3中证明PA+PB+PC＝CP+PM+MN．并直接写出当AC＝BC＝4时，PA+PB+PC的最小值． 4．若点P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．当三角形的最大角小于120°时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点“．即PA+PB+PC最小． （1）如图1，向△ABC外作等边三角形△ABD，△AEC．连接BE，DC相交于点P，连接AP． ①证明：点P就是△ABC费马点； ②证明：PA+PB+PC＝BE＝DC； （2）如图2，在△MNG中，MN＝4，∠M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 ．
6．阅读下列材料： 小华遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝6，AC＝5，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值． 小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求． （1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为 ； （2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题： ①如图3，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．
本期我们就分享这么多，关于费马点应用，在中考中属于难点，希望同学们能高度重视，学习过程中要多理解，独立思考，完成必要的练习，有助于你提高熟练程度，增强理解。 |
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