 背景：费马问题(Fermat problem)是著名的几何极值问题。  
当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心。 即：当∠BAC、∠ABC和∠ACB均小于120°时，分别以△ABC的三边为边长，向外作等边三角形，连接AA'、BB'、CC'，三线交于一点P。则PA+PB+PC的长度最小，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，点P称为费马点。  1  几何画板演示   2  简要证明 点P为△ABC内任意一点，将△PAB绕点B逆时针旋转60°，得到△GC'B，则C'G=PA。易证△ABC'、△BPG为等边三角形，则GP=PB。即：C'G+GP+PC=PA+PB+PC。 当C'、G、P、C四点共线时，PA+PB+PC取得最小值（等于CC'的长度），且∠BGC'和∠BPC都等于120°，易证∠APB=∠BPC=∠CPA=120°。因为C、C'为定点，所以费马点位于CC'上，同理可证费马点也位于AA'、BB'上。 3 实战演练1
以AB为边长向外作等边三角形ABC'，连接CC'，则BC'=AB=3km。CC'的长度即为输水管总长度的最小值。易证三角形CBC'为直角三角形，根据勾股定理即可求得CC'=5km。 4 实战演练2
以AB为边长向外作等边三角形ABC'，连接CC'，则BC'=AB=4。CC'的长度即为AP+BP+CP的最小值。作C'D垂直于CB交CB的延长线于点D。易证三角形C'DB为含30°的直角三角形，在直角三角形C'DC中，根据勾股定理即可求得CC'的长。【此求法在计算方面难度较大，同学们可尝试以AC为边长向外作等边三角形来解决问题】 5 沙场练兵 |
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