【几何最值】加权费马点

曾经的我们看多了基础几何最值，研究的深一点的孩子们可能也见过了基础费马点最值问题，也就是类似这样的习题↓

已知，在△ABC中，AB=2,AC=5，∠BAC=90°，求PA+PB+PC最小值

今天呢，我们再深入探究一下，来了解一下“加权费马点”。

那么何为加权费马点呢？

就是PA，PB，PC三条边的系数不再是1这么常规，例如：PA+√2PB+PC，3PA+4PB+5PC，√5PA+2√2PB+3PC...类似这样的最值问题。

接下来，我们直接问题哈~

典例分析1：求3PA+4PB+5PC最小值

已知△ABC，∠ACB=30°，CB=6，CA=5，P在三角形内部，求3PA+4PB+5PC最小值。

思考两分钟哈~

详情解析思路如下↓：

①以C为旋转中心，△APC沿C顺时针旋转90°，得到△A'P'C。

②对比上图，PB的位置没发生位置的改变，所以直接把PB的系数化为1，即3PA+4PB+5PC=4【(3/4)PA+PB+(5/4)PC】。

③此时需要把PA变为原来的0.75倍，此时就需要我们做位似。

④以C为位似中心，把△A'P'C变为原来的0.75倍。

⑤由相似得到MN=0.75A'P'，CM=0.75CP'=0.75PC

⑥连接PM，因为∠ACM=90°，在三角形PMC中，运用勾股定理可得：PM=1.25PC。

⑦由此可得，（3PA+4PB+5PC）最小值为线段NB的长。

⑧最后利用勾股定理求解线段长。

怎么样？小盆友你们学废了吗？？？

你以为这就完了，那你错了，我们有更懵逼的数学习题哟~

典型例题2:求√(5)PA+2√(2)PB+3PC最小值

已知如图，在△ABC中，∠BAC=75°，AB=3，CA=2√2，P在三角形内部，求√5PA+2√2PB+3PC最小值。

思考两分钟哈~

详情解析思路如下↓：

①先把三条线段的系数提取出来，做一个对应线段长的三角形，从而可以求出√(5)的对角是特殊角度45°。

②√5是PA的系数，所以旋转AP所在的三角形，具体转谁，△APB，△APC均可以。

③因为PB没动，所以√5PA+2√2PB+3PC可以整理为

④先处理PC的系数：以A为位似中心，扩大为原来的(3√2/4)倍

⑤过点P做PH⊥AP''

朋友们，学废了吗~