中考数学二次函数中的几何最值问题

一、常见的几何最值问题：

1、如图、已知直线 l 及点 A、B，在直线 l 上做点 P ，使 PA + PB 最小。

图（1）

当 P 、 A 、 B 三点共线时，PA + PB 最小，最小值为 AB 。

依据：两点之间的线段距离最短。

2、如图、已知直线 l 及点 A、B，在直线 l 上做点 P ，使 PA + PB 最小。

图（2）

当 P 、 A 、 B' 三点共线时，PA + PB 最小，最小值为 AB' 。

依据：两点之间的线段距离最短。

3、如图、已知直线 l 及点 A ，在直线 l 上作点 P ，使 PA 最小。

图（3）

依据：垂线段最短。

4、如图、已知直线 l 及点 A、B ，点 B 在直线 l 上，在直线 l 上做点 P ，使 PA + 1/2PB 最小。

图（4）

图（5）

作法：

①过终点 B 在直线 l 下方作一条射线 BM ，使之与 BP 构成的角满足 sina = 1/2 , a = 30° ；

②过起点 A 做该射线的垂线 AH ；

③该垂线与直线 l 的交点 P' 即为所求。

依据：当 A、P'、H 三点共线时，P‘A + 1/2P'B 最小，最小值为 AH 。

二、典型例题：

例题、如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线 y = -x^2 + 2x +3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C ，点 D 是抛物线的顶点，点 P(3/2 ， 15/4）是抛物线上一点。

（1）点 A、B、C、D 的坐标分别是多少？

（2）如图2，M 为 y 轴上一动点，求 BM + DM 最小值及此时点 M 的坐标。

（3）如图3，M 为 y 轴上一动点，N 为抛物线对称轴上一动点，且 MN⊥y轴，求 PN+MN+BM 的最小值。

图（6）

图（7）

图（8）

解：

（1）A（-1,0）； B（3,0）； C（0,3）；D（1,4）。

（2）

图（9）

（3）

图（10）

三、总结：

1、2个原理： ①两点之间，线段最短；②垂线段最短。

2、2种手段： ①轴对称；②平移。

3、1种思想：转化的思想。