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【问题背景】 “PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当 k 值为 1 时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型 来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。 而当 k 取任意不为 1 的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无 法进行，因此必须转换思路。 此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。 即点 P 在直线上运动和点 P 在圆上运动。 其中点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题； 点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。 本文将与大家共同探究线段最值问题“胡不归”问题的解决方案。 【知识储备】 线段最值问题常用原理： ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 【数学故事】 从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。 这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
【模型初探】 （一）点 P 在直线上运动“胡不归”问题 如图 1-1-1 所示，已知 sin∠MBN=k,点 P 为角∠MBN 其中一边 BM 上的一个动点，点 A 在射线 BM、BN 的同侧，连接 AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?
分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点 P 作 PQ⊥BN 垂足为Q，则 k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,
∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值， 即 A、P、Q 三点共线时最小（如图 1-1-3），本题得解。
思考：当 k 值大于 1 时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数 k 即可哦！！！ 【模型总结】 “胡不归”构造 某角正弦值等于小于 1 系数 过起点构造所需角（ k=sin ∠ CAE ） 过终点作所构角边的垂线 利用垂线段最短解决问题
【举例分析】 如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点,则 AM+1/2BM 的最小值为_________ .
分析：如何将1/2BM 转化为其他线段呢？ 即本题 k 值为1/2，必须转化为某一角的正弦值啊， 即转化为 30 °角的正弦值。 思考到这里，不难发现，只要作 MN 垂直于 BC， 则 MN=1/2BM， 即 AM+1/2BM最小转化为 AM+MN 最小，本题得解。
【变式思考】： (1)本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？ (2) 本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗？ 【中考真题】：
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