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模型一 垂线段最短 如图，已知直线 l 外一定点 A 和直线 l 上一动点 B，求 A、B 之间距离的最小值 . 通常过点 A 作直线 l 的垂线 AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．  【典型例题】 1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 是 ∠BAC 的平分线，点 E 是 AB 上任意一点． 若 AD＝5，AC＝4，则 DE 的最小值为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6  答案：A . 当 DE⊥AB 时，DE 最小，此时 DE = CD，在 Rt△ACD 中，根据勾股定理易得 CD = 3 . 2. 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝5，BC 边上高 AD＝4，若点 P 在边 AC 上 ( 不含端点 ) 移动， 则 BP 长的最小值为 ________．  答案：24/5 . 如图，延长 CA，过点 B 作 BP'⊥CA 于点 P'，此时 BP' 的长最小 .  在等腰 △ABC 中根据 “三线合一” 的性质可知 BD = CD = 3 , S△ABC = 1/2 × BP' × AC = 1/2 × AD × BC，可得 BP' = 24/5 . （等积求距） 3. 如图，点 A 坐标为 (－2，0)，点 B 在直线 y＝x－4 上运动，当线段 AB 最短时，点 B 坐标为________．  答案：（1，-3）. 如图，当 AB'⊥直线 y＝x－4 时，此时线段 AB 最短 .  设直线 AB' 的解析式为 y = kx + b （k ≠ 0）, ∵ AB'⊥BB'，KBB' = 1，（KBB' 为直线 y＝x－4 的斜率 ） ∴ KAB' × KBB' = - 1 ，（两条直线垂直斜率乘积为 -1） ∴ KAB' = - 1 ， 即 k = -1 , ∴ 直线 AB' 的解析式为 y = -x + b , ∵ 点 A（-2,0）在直线 AB' 上， ∴ 0 = 2 + b , 解得 b = -2 , ∴ 直线 AB' 的解析式为 y = -x - 2 . 联立直线 y = x - 4 , 解方程可得 B'（1，-3）. 模型二 胡不归问题 “胡不归” 问题即点 P 在直线 l 上运动时的 “ PA＋k·PB ( 0 < k < 1 ) ” 型最值问题 . 问题：  如图 ①，已知 sin∠MBN＝k，点 P 为 ∠MBN 其中一边 BM 上的一个动点， 点 A 在射线 BM、BN 的同侧，连接 AP，则当 “ PA＋k·PB ” 的值最小时，点 P 的位置如何确定？ 解题思路： 本题的关键在于如何确定 “ k·PB ” 的大小 . 过点 P 作 PQ⊥BN 于点 Q，则 k·PB＝PB·sin∠MBN＝PQ， ∴ 可将求 “ PA＋k·PB ” 的最小值转化为求 “ PA＋PQ ” 的最小值 ( 如图 ② )， ∴ 当 A、Q、P 三点共线时，PA＋PQ 的值最小 ( 如图 ③ )，此时 AQ⊥BN . 【典型例题】 1. 如图，四边形 ABCD 是菱形，AB＝6，且 ∠ABC＝60°， M 为对角线 BD ( 不与点 B 重合 ) 上任意一点，则 AM＋1/2 BM 的最小值为________．  答案：3√3 . 如图，过 A 点作 AE⊥BC 于点 E，交 AB 于点 M' ，则 AM＋1/2 BM 的最小值为 AE .  在 Rt△AEB 中，AB = 6，∠ABC = 60°， ∴ AE = AB ▪ sin∠ABC = 6 × √3 / 2 = 3√3 . 拓展应用： 对于求“ m·PA＋k·PB” 的最值，若 m > k ≥ 1，可转化为 “ m ( PA + k/m · PB ) ” 的最值 , 此时 0< k/m < 1. (1) 本题若要求 “ 2AM＋BM ” 的最小值，你会吗？请求解． 答案：6√3 . (2) 本题若要求 “AM＋BM＋CM” 的最小值，你会吗？请求解． 答案：6√3 . AM＋BM＋CM 最小时，此时点 M 为 △ABC 的 “费马点”， 所以 AM＋BM＋CM = BD = 2 × √3 / 2 × 6 = 6√3 .  2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2 + bx＋c 的图象经过点 A(－1，0)、B(0，－√3 )、 C(2，0)，其对称轴与 x 轴交于点 D . 若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，则 1/2 PB＋PD 的最小值为_______．  答案：3√3 / 4 . 如图 1/2 PB＋PD = PD + 1/2 PB 的最小值为 DE，则 ∠PBE = 30°，可解得 DE = 3√3 / 4 . |
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