【原】初中几何三角形与四边形的周长最值问题

动态几何 2022-04-22

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方法原理：

1.通过确定抛物线上的点到两个定点的距离和最小，求得三角形或四边形的周长最小值.

2.通过建立周长的二次函数关系，根据二次函数的性质，求得三角形或四边形的周长最小值.

三角形

如图，抛物线的顶点为A（h，-1），与y轴交于点B $\left ( 0,-\frac{1}{2} \right )$ ，点F（2，1）为其对称轴上的一个定点．

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d；

（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．

分析：可以设二次函数顶点式，用待定系数法.

解：（1）由抛物线的顶点A（2，﹣1），可以设抛物线的解析式为

$y=a\left ( x-2 \right ) ^{2} -1$ ，

∵抛物线经过B（0， $-\frac{1}{2}$ ），

∴ $-\frac{1}{2} =4a-1$ ，

∴ $a=\frac{1}{8}$ ，

∴抛物线的解析式为 $y=\frac{1}{8} \left ( x-2 \right ) ^{2} -1$ ．

分析：用n表示PF、PE的长，再进行比较.由点P(m,n)在抛物线上可知： $n=\frac{1}{8} \left ( m-2 \right ) ^{2} -1$ ，即： $\left ( 2-m \right ) ^{2} =8n+8$ .

在Rt△PGF中, $PF^{2} =\left ( n-1 \right ) ^{2} +\left ( 2-m \right ) ^{2} =\left ( n+3 \right )^{2}$ .

∴PF=n+3.由图可知：PE=n+3.

解：（2）∵P（m，n）， F（2，1），

∴ $PF^{2} =\left ( n-1 \right ) ^{2} +\left ( 2-m \right ) ^{2} .$

∵点P（m，n）在抛物线上.

∴ $n=\frac{1}{8} \left ( m-2 \right ) ^{2} -1,$

∴ $\left ( 2-m \right ) ^{2} =8n+8.$

∴ $PF^{2} =\left ( n-1 \right ) ^{2} +8n+8=\left ( n+3 \right ) ^{2} .$

∵n≥−1，∴n+3>0.

∴PF=n+3.

又∵d=n−(−3)=n+3.

∴PF=d.

分析：（3）过点Q作l的垂线段，QF=QE.当D，Q，H三点共线时，DQ+QH最小，过点D作l的垂线段，点Q′即为所求的点，△DFQ周长最小值=DF+DM.

解:（3）如图，过点Q作QE⊥直线l于E，过点D作DM⊥直线l于M，交抛物线于点Q′.

∵△DFQ的周长＝FD+QF+QD， $FD=\sqrt{2^{2} +2^{2}}$ .

∴QD+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，

∵由（2）知QF＝QE，

∴QD+FQ＝QD+QE，

根据垂线段最短可知，当D，Q，E共线时，

QD+QE的值最小，此时点E与M重合，点Q与Q′重合.

∴QD+QE的最小值= Q'D+Q'M=DM=3-(-3)=6.

∴△DFQ的周长的最小值为 $2\sqrt{2} +6$ ，此时Q $\left ( 4,-\frac{1}{2} \right )$

四边形

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（-1，0）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值.

解：(1)设二次函数表达式为： $y=a\left ( x-1 \right ) ^{2} +4$ .

将点B的坐标代入上式得：0＝4a+4，

解得：a＝-1，

故函数表达式为： $y=-x^{2} +2x+3$ .

(2)分析：建立矩形的周长与m的二次函数关系，根据二次函数的性质求出周长的最大值.

解：设点G的坐标为（m，0），则点M $\left ( m,-m^{2} +2m+3 \right )$ ，

点N $\left ( 2-m,-m^{2}+2m+3 \right )$ ，

∴MN＝m﹣(2-m)＝2m﹣2，

$GM=-m^{2} +2m+3$ .

矩形MNHG的周长＝2(MN+GM)

$=-2m^{2} +8m+2$ .

∵-2＜0，∴m=2时，矩形的周长有最大值10，所以矩形周长的最大值为10.

总结：

①根据抛物线的性质通过作图求周长的最值；

②建立函数模型求周长的最值.

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编辑 | 张旭