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本文主要探究特殊三角形（等边三角形，等腰直角三角形，底角为30°的等腰三角形）内部一点到三个顶点的距离之间的数量关系与它们夹角之间的关系，以及三条线段倍数之和的最值问题。主要利用旋转，将看似无关的三条线段变换位置，聚合在一个三角形中解决问题。 三个特殊的等腰三角形，它们的底边与腰长之间的数量关系：
 例1 如图,点P是等腰直角△ABC内一点,∠ABC=90°,AP=1,PB=2, PC=3.求∠APB的度数.
【解析】以点B为旋转中心,将△PAB顺时针旋转90°,得到△BP'C，从而引起线段PA，PB的变化，使PA，PB，PC聚集在同一个三角形中.
变式1 如图,点P是等腰直角△ABC内一点点,∠ABC=90°,∠APB=135°,AP=1,PB=2,.求∠APB的度数.
【解析】以点B为旋转中心,将△PAB顺时针旋转90°,得到△BP'C，从而引起线段PA，PB的变化，使PA，PB，PC聚集在同一个三角形中。
归纳总结
 例2 如图,点P是等腰直角△ABC内一点,∠ABC=90°,AB=1.求PA+PB+ （根号2）PC的最小值.
【解析】以点C为旋转中心,将△CPA顺时针旋转90°,得到△CP'A'，得到PA=P'A'，∠PCP'=90°。在等腰直角△CPP'中,PP'=PC的根号2倍。从而将PA+PB+根号2倍PC的长度转化为P’A'+PB+P'P的长度，即当B,P,P',A'四点共线时，P’A'+PB+P'P最短，即为A'B的长度.
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