如图,在已知△ABC所在平面上存在一点P,使它到三角形顶点的距离之和最小,则称点P为△ABC的费马点,此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离. 解决这个问题的方法有很多,我们今天主要通过旋转的方法来求解. 将△PBC绕点B顺时针旋转60°得到△P’BC’,连接P’P,C’C. 所以△P’PB为等边三角形,则P’P=PB,P’C’=PC, 所以PA+PB+PC=PA+P’P+P’C’. 因为点A,C’均为定点,当点A、P、P’、C’四点共线时,PA+P’P+P’C’的值最小. 结论:以三角形ABC的一边外构等边三角形,将所构等边三角形新顶点与原三角形的第三个顶点相连,即得最小值. 习题1:已知三村庄A、B、C构成了如图(E)所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°),现选取一点P打水井,使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小,则输水管总长度的最小值为____________. 解析:以BC为边,在BC的下方构造等边三角形BCD,连接AD,则输水管总长度的最小值为AD的长,此时∠ABD=90°,BD=BC=4,所以AD=5,即最小值为5. 习题2:如图,已知矩形ABCD,AB=2,BC=4,点M为矩形内一点,点E为AD边上任意一点,则MB+MC+ME的最小值为____________. 解析:如图,连接BE、CE,以BC为边构造等边三角形BCF,连接EF,由费马点可知ME+MB+MC的最小值为EF的长. 因为点E为AD上的动点,所以当FE⊥AD时,EF取最小值.
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