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求三角形内一点到三角形三个顶点距离之和的最小值分两种情况考虑：一种是三角形最大内角小于120°，另一种是三角形有一个内角≥120°。 如果三角形最大内角小于120°，怎样求三角形内一点到三角形三个顶点距离之和的最小值？ 问题：△ABC中，∠A＜120°，∠B＜120°，∠C＜120°，P是三角形内一点，求PA+PB+PC的最小值。  求PA+PB+PC的最小值 解题方法：作两个等边三角形，一个等边△BPF，另一个等边△ABE。容易证明，PB=PF，PA=FE，所以，PA+PB+PC=FE+PF+PC，显然，当FE、PF、PC组成的折线变成线段时，FE+PF+PC取得最小值，最小值就是CE。  作两个等边三角形 所以，我们求三角形内一点到三角形三个顶点距离之和的最小值，就是求CE的值。 显然，用三角形任意一条边向外作等边三角形都是可以的，如下图。也就是说，AF=BD=CE，都是PA+PB+PC的最小值。  AF=BD=CE 我们可以得到如下结论： 结论一：AF=BD=CE。 因为△ACF≌△DCB，所以AF=BD。同理可证BD=CE。 结论二：AF、BD、CE三条线段交于一点，这一点就是使PA+PB+PC取得最小值的P点。 结论三：P点使PA+PB+PC取得最小值时，∠APB=∠BPC=∠CPA=120°。 结论四：PE平分∠APB，PF平分∠BPC，PD平分∠CPA。 结论二、结论三、结论四的证明比较容易，留给网友们自己研究证明。 是否有人想到，为什么要求三角形最大内角小于120°？如果三角形有一个角≥120°，这种解法是否正确？  ∠ABC＞120°的情况 比如，∠ABC＞120°，这时，三角形内的P点不可能在CE上，CE就不是PA+PB+PC的最小值。 如果∠ABC=120°，则C、B、E三点共线，P在B点时PA+PB+PC取得最小值CE。  ∠ABC=120°的情况 容易得到一般结论：如果三角形有一个角≥120°，P在三角形这个最大角的顶点时，PA+PB+PC取得最小值。为什么？请网友们自己研究一下。 我们来看一道例题：在等腰直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，P是三角形内一点，求PA+PB+PC的最小值。 我们用上面所讲的知识来解这道题。 以BC为边向外作等边△BCD，连接AD，AD交BC于E，AD就是PA+PB+PC的最小值。  例题 我们想办法求出AD的长。 因为AB=AC=2，所以BC=2√2。 AE=BE=CE=√2。 DE²=BD²-BE²=8-2=6，DE=√6。 AD=AE+DE=√2+√6。 PA+PB+PC的最小值=√2+√6。 总结一下： 如果三角形最大内角小于120°，用三角形任意一条边向外作等边三角形，连接这条边所对的两个顶点，这条线段的长就是三角形内一点到三角形三个顶点距离之和的最小值。 如果三角形有一个角≥120°，P在这个角的顶点处，PA+PB+PC取得最小值。 这就是所谓的费马点或托里拆利点问题。 |
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