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对于动态问题，我们需要认真审题，从题目已知条件从分析出：线段或者线段所在直线的夹角不变（长度或者角度）；直线或者线段所在直线位置关系不变（平行、垂直、夹角）；图形的相互关系不变（全等、相似）。 解答动态几何问题，要灵活运用相关的几何知识，结合函数思想，分类讨论，数形结合等思想方法，将“动”中某些特殊时刻看成“静”，并在“静”态下把问题解决。 1. 长度不变 【分析】从题目已知条件可知，有关长度不变的量只有OM的长，那么d+AB肯定是一个与OM有关的量. 根据题目已知条件，利用特殊情形（⊙以OM为直径），求出d+AB的值。d+AB=√2OM. 过M点作MN⊥OM，交x轴于N点，连结BM、AM，设△OAB的内切圆为⊙O2，与三角形的三边切于P、Q、R三点，求出ON=√2OM.OA+OB=ON=√2OM. 2. 相似+角度不变 【分析】第（2）题要求AT·AG的值，就是与题目已知条件中的某线段长有关，而题目的已知条件只告诉我们OA的长，进一步分析可知，我们可以得到OB和AB的长，从AT·AG这个表现形式来看，应该是利用相似来解答，把AT和AG放到某两个三角形里而且要与我们刚才分析的其中的线段联系起来，只有AB的长也就是圆的半径可以与AT、AG恰好构造成两个三角形。 【分析】第（3）问，MN/R的值不变，从表现形式来看，有点像简单三角函数里的某个角的三角函数值，所以我们选择证明MN和某个半径（O1M）的夹角不变来证明，而从题目已知条件可知，∠OAB和∠OBA是不变的。 过O1点作O1R⊥MN，连结BM、BN、O1M、AD 易证△BAM和△DAM全等，有∠ABM=∠ADM，∠BAM=∠DAM ∵∠DMO=∠PBN （圆内接四边形的一个外角等于内对角） ∠MO1R=∠MBN ∠MO1R=∠PBN－∠ABM ∴∠MO1R=∠DMO－∠ABM ∵∠DMO=∠DAM+∠ADM （三角形外角） ∠BAM=∠DAM ∴∠BAM=∠DMO－∠ADM ∵∠ABM=∠ADM ∴∠MO1R=∠BAM ∴MN/R的值不变。 3. 位置关系不变：平行 已知：如图，PF是⊙O的切线，PE＝PF，A是⊙O上一点，直线AE、AP分别交⊙O于B、D，直线DE交⊙O于C，连结BC。 (1)求证：PE∥BC； (2)将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在⊙O上另选一点A．其他条件不变，此时，PE与BC是否仍然平行？证明你的结论。 【分析】如果PE∥BC,那么有∠BCE=∠PED（两直线平行，同位角相等），且∠BCE=∠PAE，因此我们只需要证明△PED∽△PAE即可。
猜想：PE∥BC 证明：∵PF是⊙O的切线 ∴PF2=OD·PA （切割线定理，可以连结DF、AF，利用相似来证明） ∵PE=PF ∴PE2=OD·PA ∵∠EPD=∠APE ∴△PED∽△PAE ∴∠PED=∠PAE ∵∠BCE=∠PAE ∴∠BCE=∠PED ∴PE∥BC. 4. 全等+位置关系不变：垂直 如图，△ABD与△CDE中均为等腰直角三角形，B，D，C三点在一直线上。 (1)试问BE与AC有何关系？并证明你的结论。 (2)当△CDE绕点D沿顺时针方向旋转时，BE与AC的关系分别怎样？
【分析】第1问BE=AC且BE⊥AC，是通过证明三角形全等而得出的结论，在旋转的过程中，让我们看看证明三角形全等的条件是否发生改变，比如线段的长度，角的大小以及他们之间的关系，观察可以发现线段的长度没有发生改变，角的大小发生了改变，可是这两个角之间的数量关系没有发生改变，还是相等的，那么我们还是可以利用第1问的思路来解答。 猜想：BE=AC，BE⊥AC 证明：∵BD=AD DE=DC 90°+∠ADE=∠BDE=∠ADC=90°+∠ADE ∴△BDE≌△ADC ∴BE=AC ∠DBE=∠DAC ∠FBA+∠BAF=∠FBA+∠BAF+∠DAC =∠FBA+∠BAF+∠DBE =90° ∴∠BFA=180°－（∠FBA+∠BAF）=90° ∴BE⊥AC. “动”中取“静”，利用全等、相似、勾股定理建立 等量关系。 动态几何问题充分体现了数学中的“变”与“不变”的和谐统一，它能考查数形结合、分类讨论、迁移转化、函数与方程等思想方法，技巧性较强，是近几年的中考热点问题。 |
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