一道中考数学题，拆解之后很容易19

答案不是结束，是真正学习的开始

这是陕西省2023年中考最后一道压轴题。上图答案已经写得很清楚了，我们需要从答案中学到什么呢？

1、直观感受不等于数学证明

第一问几乎是送分题。我们看图能够直接发现最短的距离，就是O点向AB做垂线，两个交点P、M之间的距离。

但是，直观感受不等于数学证明。你必须能够用数学的语言描述出来，证明这条线段是最短的。

两种方式：一是直角三角形的斜边大于直角边，即OM大于OM'；二是三角形两边之和大于第三边，即PM+OP大于OM，OP是定值r，所以当OP与PM与OM重合时，OP+PM=OM。

为什么需要数学证明？因为到了第二问的时候，你会发现，如果你没有这个证明思路，很容易出现错误。

2、两点到圆上的距离之和最短？

第二问的关键在于，什么情况下，两点到圆上的距离之和最短。

如果第一问我们没有严格的数学证明，只是凭借观察得出的结论。那么第二问时，我们很容易产生第一个想法，即连接两点BE，圆心在这条直线上，这样BN+PE之和最短。

但这个直觉是错误的！两点之间，线段最短。但这并不代表，两条线段之和最短。

以这道题为例，你要想求出BN+PE之和最小值，你必须构造出两条线段相接的情况，或者三条线段相接的情况，然后利用第一问的思路，当几条线段重合的时候，线段之和最短。

所以，这道题的关键一步是，平移线段BN至B'O。

这时，B'O+OP+PE就构成连接的三条线段。当B'O和OP在一条直线上时（即B'P），线段之和最短；当B'P和PE在一条直线上时（即B'E），线段之和最短。

到这里结束了么？并没有。你会发现，现在我们求的BN+PE之和最小值，是两点B'E之间减去一个半径r，与最初的设想，减去2个r缩短了一半。那还能不能再缩短呢？比如，当NP点重合时，BN+PE就等于BE，相当于BE与圆O相切于点N。这种情况有可能存在，只是这道题不存在，为什么？

这道题是先做OM垂直于AB，交点是N，已经确定了ON一定是平行于BC的。如果这道题稍微改变一下：N、P为圆上任意一点，求当BN+PE之和最小值时，NM最小值，那样这个圆就不是圆心在BE上了，是与BE相切，切点就是N点。

这道题的关键就是读题，是能够快速抓住关键信息，然后能够画出对应的图形。

答案不是结束，是真正学习的开始。

你必须能够从答案中总结经验，提炼规律，才能学会一道题，解决万道题。

现在，请问这类的两条线段之和最小的问题，你学会背后的规律了吗？

之前题目重做，做不出来，说明没学会