科学探秘之——费玛数列

17世纪的法国律师和业余数学家费玛曾提出这么一个很有趣而且非常重要的猜测：他说无论n是那个大于或等于零的正整数f(n)=22n+1都是质数。当n＝0、1、2、3、4时f(n)分别各为3、5、17、257、65537，我们很容易证明这些数都是质数，但当n为5时，f(n)＝4294967297，它是否是个质数？这是个相当伤脑筋的问题。直到1732年，奥义罗（L. Euler）把f(5)分解为641和6700417的乘积，证明了费玛的猜测错误。一百五十年后（1880年）F（6）又被证明可分解为274177和67280421310721的乘积。随后f(7)，f(8)，f(9)，f(11)，f(12)，f(18)，f(23)，f(36)，f(38)，f(73)都被证明不是质数；而已知的质数只有前面的5个而已。到现在为止，费玛数列f(n)中到底有多少个是质数（有限个或无穷个）还是个没有解决的问题。

费玛

从古希腊开始，大家对正多边形的作图就感到非常有兴趣。希腊人已经会用圆规和直尺作正三边，四边，五边，六边，八边，十边和十五边形。当然，从正n边形，我们很容易作出正2n边形（为什么？）所以只要正奇数多边形会作图了，正偶数边形也就没有问题。那麽正七边，九边，十一边或十三边………能否作图呢？这个问题一直要到二千年后才得到解决。

费玛螺旋

高斯（C. Gauss 1777－1855）到十八岁以前还没决定要做个数学家或语言学家，因为在这两方面他都很有天分。十九岁那年他发现了正多边形是否可以作图（只用直尺和圆规）和费玛数列有密切的关系。这个关系是这样的：如果正奇数多边形的边数是费玛的数列中的某一质数或是这类质数的乘积（同一质数在乘积中只能出现一次），则该正奇数多边形可以作图；而且也只有这情形下才可以把图作出来。这就是说正七边、九边、十一边、十三边形等等的作图都是不可能的；而正17边，257边或3×17边形等等的作图是可能的。

高斯

就这样高斯一口气把正多边形的作图问题解决了（当然这是理论上的解决。事实上，费玛数列中有那些是质数还是个没解决的问题）。这使他高兴万分，就在满二十岁的前一个月（1796年3月30日）决定终身做个数学家，而且开始记科学日记，把他的这个伟大发现列为第一条。这本日记是数学史上最珍贵的宝藏许许多多重要的发现都在这里登记有案。

费玛数列和正多边形作图把高斯引上了数学的道路，使十九世纪的数学大放异彩。

而高斯去世后，更是要求在他自己的墓碑上刻上正十七边形的图形。

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